5.4 Свойства функций

Определения и обозначения

Область определения функции — все значения аргумента x, при которых функция имеет смысл. Например, в дроби нельзя допускать нулевой знаменатель. Это свойство показывает, какие входные данные вообще разрешено подставлять в формулу.

Область значений функции — все значения y, которые функция принимает на своей области определения. Она описывает возможные результаты работы функции. Например, для y = x² результат не бывает отрицательным, поэтому область значений задаётся условием y ≥ 0.

Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю: f(x) = 0. На графике нулю соответствует абсцисса точки пересечения с осью Ox, а не вся точка. Нули помогают быстро определить, где функция меняет знак.

Промежутки монотонности — промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает. Возрастающая функция при увеличении x увеличивает и своё значение, а убывающая уменьшает его. Эти промежутки нужны, чтобы описать направление изменения функции и найти её экстремумы.

Как это устроено

Область определения по графику читают по оси Ox: мысленно опускают на неё все точки графика и отмечают получившийся набор значений. Область значений находят похожим способом, проектируя график на ось Oy. Такой подход работает потому, что координата x отвечает за аргумент, а координата y — за значение функции.

Нули находят в местах пересечения графика с осью Ox, поскольку на этой оси y = 0. Если часть графика расположена выше оси Ox, соответствующие значения функции положительны; если ниже — отрицательны. Поэтому промежутки знакопостоянства определяют по x-координатам точек пересечения и положению ветвей между ними.

Направление движения читают только слева направо, то есть в сторону увеличения x. Если график поднимается, значения y растут — функция возрастает; если опускается, значения y уменьшаются — функция убывает. При чтении справа налево картина кажется обратной, поэтому такой порядок легко приводит к ошибке.

Когда график после подъёма начинает опускаться, точка перехода является максимумом на рассматриваемом промежутке. Когда после спуска он начинает подниматься, получается минимум. Эти точки называют экстремумами функции, но наличие вершины ещё не означает одновременно максимум и минимум: вид экстремума зависит от направления изменения графика.

Симметрия тоже подсказывает свойство функции. Если график зеркально отражается относительно оси Oy, функция чётная и выполняется f(−x) = f(x). Если график сохраняется при повороте на 180° вокруг начала координат, функция нечётная и выполняется f(−x) = −f(x).

Основные свойства функции и их определение по графику

Таблица помогает превратить наблюдение за графиком в точную запись свойства. Сначала находят нужные точки или направления, затем переводят их координаты и положение графика в промежутки или условия.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = x² − 4 найдём область определения, область значений и нули функции. Формула содержит только возведение в квадрат и вычитание, поэтому ограничений на x нет.

1. Область определения: x может быть любым действительным числом, значит, D(f) = R.

2. Так как x² ≥ 0, получаем x² − 4 ≥ −4. Следовательно, область значений: y ≥ −4.

3. Нули найдём из уравнения x² − 4 = 0, откуда x² = 4 и x = −2 или x = 2.

Ответ: D(f) = R, E(f) = [−4; +∞), нули функции — −2 и 2.

Задача 2

По графику y = x² − 4 определим монотонность и знак функции. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (0; −4).

1. Слева от x = 0 график спускается к вершине, поэтому функция убывает на (−∞; 0]. Справа от вершины график поднимается, поэтому функция возрастает на [0; +∞).

2. Нули уже найдены: x = −2 и x = 2. Между ними график находится ниже оси Ox, а вне их — выше.

3. Записываем знакопостоянство: функция положительна при x < −2 и x > 2, отрицательна при −2 < x < 2.

Ответ: убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); положительна на (−∞; −2) и (2; +∞), отрицательна на (−2; 2).

Задача 3

Исследуем y = −x² + 4 по основным свойствам. Ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке (0; 4).

1. Ограничений на x нет: D(f) = R. Из неравенства −x² + 4 ≤ 4 получаем E(f) = (−∞; 4].

2. Решаем −x² + 4 = 0: x² = 4, поэтому нули равны −2 и 2. Между нулями график выше оси Ox, вне промежутка — ниже.

3. До вершины график поднимается, значит, функция возрастает на (−∞; 0], а после вершины опускается и убывает на [0; +∞). Наибольшее значение равно 4.

Ответ: D(f) = R, E(f) = (−∞; 4], нули −2 и 2, положительна на (−2; 2), отрицательна на (−∞; −2) и (2; +∞), возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞), максимум равен 4.

Типичные ошибки

Область определения и область значений иногда меняют местами. Ошибка появляется потому, что оба понятия описывают множество чисел, но первое относится к x, а второе к y. Проверь себя вопросами: что можно подставить в формулу и какие результаты при этом получаются.

Нулём функции называют всю точку пересечения с осью Ox, например (2; 0). На самом деле нуль — только её абсцисса 2, потому что нуль функции является значением аргумента. Для проверки подставь найденное число в формулу и убедись, что результат равен нулю.

Возрастание и убывание иногда определяют справа налево. При таком чтении меняется направление изменения x, поэтому вывод получается противоположным. Всегда начинай с левой части графика и двигайся к правой.

Вершину параболы принимают одновременно за максимум и минимум. Вид экстремума определяется ветвями: у параболы, направленной вверх, вершина даёт минимум, а у параболы, направленной вниз, — максимум. Кроме того, нужно учитывать, на каком промежутке рассматривается функция.

Связь с другими темами

Для изучения свойств функций нужны координатная плоскость, умение читать графики, а также навыки решения уравнений и неравенств. Без них трудно найти точки пересечения, нули и промежутки знакопостоянства.

Эти свойства применяют при исследовании линейной, квадратичной и других функций. По ним можно описать поведение формулы, не вычисляя её значение для каждого отдельного x.

Знание свойств помогает строить графики и решать задачи по уже заданному графику. Например, по одной картинке можно определить, где функция положительна, достигает максимума или убывает.

Что запомнить

• Область определения — допустимые значения аргумента x.
• Область значений — значения функции y.
• Нули функции находят из уравнения f(x) = 0.
• Выше оси Ox функция положительна, ниже оси Ox — отрицательна.
• При движении слева направо график вверх означает возрастание, а вниз — убывание.
• Переход от возрастания к убыванию может дать максимум, а от убывания к возрастанию — минимум.