"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Линейная функция описывает зависимость одной величины от другой формулой y = kx + b. Её график всегда является прямой, поэтому для построения достаточно найти две точки. Коэффициент k показывает, в какую сторону и насколько наклонена прямая, а b — где она пересекает ось y. Эти свойства помогают быстро строить графики, сравнивать функции и решать задачи о зависимостях величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Здесь x — независимая переменная: мы выбираем её значение сами, а y зависит от этого выбора. Такая запись помогает описывать ситуации, в которых величина меняется равномерно.
Коэффициент k — число, стоящее при x в формуле y = kx + b. Он задаёт наклон прямой и направление изменения функции: при положительном k прямая поднимается слева направо, при отрицательном — опускается. Знание k позволяет заранее понять вид графика.
Коэффициент b — свободный член, то есть слагаемое, которое не содержит x. При x = 0 произведение kx равно нулю, поэтому значение функции равно b. Это число нужно, чтобы сразу найти место пересечения графика с осью y.
График линейной функции — прямая, каждая точка которой имеет координаты (x; kx + b). Первая координата задаёт выбранное значение переменной, а вторая — соответствующее ему значение функции. График наглядно показывает, как связаны x и y.
Чтобы узнать, где прямая пересекает ось y, подставим в формулу x = 0: получим y = k · 0 + b = b. Значит, точка пересечения имеет координаты (0; b). Именно поэтому свободный член можно увидеть на графике без вычислений других значений.
Если увеличить x на 1, то новое значение функции будет k(x + 1) + b. Вычтем прежнее значение kx + b — разность окажется равной k. Значит, при каждом шаге вправо на одну клетку y меняется на k: положительный k поднимает график, а отрицательный опускает. Чем больше модуль k, тем сильнее меняется y на один шаг и тем круче наклон прямой.
Для построения графика достаточно выбрать два разных значения x и вычислить для каждого y. Каждая пара чисел образует точку с координатами (x; y), которая лежит на графике, потому что удовлетворяет формуле. Через две разные точки проходит ровно одна прямая, поэтому дополнительные точки не обязательны, хотя ими можно проверить построение.
Если k = 0, слагаемое kx исчезает и остаётся y = b. При любых x значение y одинаково, поэтому точки располагаются на горизонтальной прямой. Если b = 0, то при x = 0 получаем y = 0, а значит, прямая проходит через начало координат.
У двух функций с одинаковым k при одинаковом изменении x одинаково меняется y, поэтому прямые имеют одинаковый наклон. Если их значения b различаются, они пересекают ось y на разной высоте и не пересекаются друг с другом: такие прямые параллельны. Изменение b сдвигает прямую вверх или вниз, не меняя её наклона.
| Случай | Направление графика | Пересечение с осью y | Особенность |
|---|---|---|---|
| k > 0 | Возрастает слева направо | (0; b) | При увеличении x значение y растёт |
| k < 0 | Убывает слева направо | (0; b) | При увеличении x значение y уменьшается |
| k = 0 | Горизонтальная прямая | (0; b) | Функция постоянна: y = b |
| b = 0 | Зависит от знака k | (0; 0) | Прямая проходит через начало координат |
| Одинаковые значения k у двух функций | Одинаковый наклон | Зависит от b каждой функции | При разных b прямые параллельны |
Сначала найди в формуле k и b, затем выбери подходящую строку таблицы. Знак k подскажет направление, а b — точку пересечения с осью y. Если у двух функций одинаков k, сравни их свободные члены: разные значения дают параллельные прямые.
Нам нужно получить две точки графика. Удобно выбрать x = 0 и x = 1: при таких значениях подстановка и вычисления просты. Затем нанесём точки на координатную плоскость и проведём через них прямую.
Ответ: график — прямая через точки (0; −1) и (1; 1).
Сопоставим формулу с видом y = kx + b. Коэффициент при x равен −3, а свободный член равен 4. Знак первого числа определяет направление изменения, а второе даёт значение y при x = 0.
Ответ: функция убывает; график пересекает ось y в точке (0; 4).
Искомая формула имеет вид y = kx + b, и нужно найти два числа. Точка с x = 0 особенно удобна: её координата y сразу равна b. После этого подставим координаты второй точки и найдём k.
Ответ: y = 2x − 2.
Иногда b принимают за коэффициент наклона, хотя наклон задаёт k, а b показывает пересечение с осью y. Путаница возникает потому, что оба числа стоят в одной формуле. Проверь себя подстановкой x = 0: полученное y должно быть равно b.
Неверный знак k может привести к выводу, что функция возрастает, хотя она убывает, или наоборот. Это часто происходит, когда минус перед числом не замечают. Подставь два значения x, причём второе возьми на единицу больше: при k > 0 значение y должно увеличиться, при k < 0 — уменьшиться.
Построить график по одной точке нельзя: через неё можно провести сколько угодно прямых. Ошибку допускают, принимая точку пересечения с осью y за весь график. Найди ещё одно значение функции при другом x и проверь, что точки разные.
При построении можно перепутать координаты или неверно подставить x в формулу. В записи (x; y) сначала указывают x, затем y, вычисленный по формуле. Проверяй каждую точку подстановкой: её вторая координата должна равняться kx + b.
Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа вместо букв, вычислять выражения и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают найти точки графика и правильно перенести их на чертёж. Если уверенно выполнять такие действия, построение прямой сводится к понятной последовательности шагов.
Графики линейных функций пригодятся при изучении систем линейных уравнений. Решение системы можно представить как точку пересечения двух графиков: её координаты подходят обоим уравнениям. Так графический способ связывает вычисления с геометрическим рисунком.
Идея наклона прямой описывает, как одна величина изменяется вместе с другой. Она встречается в графиках зависимостей в математике и естественных науках. Например, по графику можно сравнить, насколько быстро меняются величины при одинаковом изменении аргумента.
Почему график любой линейной функции — прямая?
При увеличении x на одно и то же число значение y каждый раз изменяется на одинаковую величину. Поэтому точки графика располагаются на одной прямой. Это свойство верно для формулы y = kx + b.
Как по формуле понять, возрастает функция или убывает?
Посмотри на знак коэффициента k при x. Если k > 0, функция возрастает, а если k < 0 — убывает. При k = 0 значение функции не меняется.
Что показывает свободный член b?
Свободный член b равен значению функции при x = 0. Поэтому график пересекает ось y в точке (0; b).
Сколько точек нужно, чтобы построить график линейной функции?
Достаточно двух точек с разными значениями x: через них можно провести единственную прямую. Одной точки недостаточно, потому что через неё проходит много прямых.
Какие графики линейных функций будут параллельны?
Параллельны графики функций с одинаковым k и разными b. У них одинаковый наклон, но разные точки пересечения с осью y. Если совпадают и k, и b, графики совпадают.
5.5 Линейная функция
