5.6 Функция у = k/x и ее график

Определения и обозначения

Функция вида y = k/x, где k — ненулевое число, каждому допустимому значению x ставит в соответствие единственное значение y. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Такая запись нужна, чтобы описывать зависимость двух величин одной формулой.

Число k в формуле y = k/x называют коэффициентом пропорциональности. Его знак определяет, в каких четвертях расположатся ветви, а величина влияет на расстояние графика от осей. Поэтому по k можно заранее предсказать основные особенности гиперболы.

Гипербола — это график функции y = k/x. При k ≠ 0 она состоит из двух отдельных частей, которые называют ветвями гиперболы. Термин помогает отличать этот график от прямой, параболы и других известных кривых.

Область определения функции — все значения аргумента, которые можно подставить в формулу. Для y = k/x это все числа, кроме x = 0, поскольку деление на ноль невозможно. Ограничение нужно учитывать при составлении таблицы и построении графика.

Как это устроено

Умножим равенство y = k/x на x и получим xy = k. Значит, функция задаёт зависимость, при которой увеличение одного множителя сопровождается изменением другого так, чтобы произведение не менялось. Например, если k = 6, то пары 1 и 6, 2 и 3, 3 и 2 дают одно и то же произведение.

Знаки x и y связаны знаком произведения xy = k. При k > 0 произведение положительно, поэтому оба числа положительны или оба отрицательны; при k < 0 произведение отрицательно, значит, один множитель положителен, а другой отрицателен. Отсюда при k > 0 ветви находятся в первой и третьей четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой.

Чтобы построить график, сначала выбирают несколько ненулевых значений x, обычно удобных для деления. Для каждого выбранного x вычисляют y = k/x, записывают пары координат и отмечают точки на плоскости. Затем точки соединяют не отрезками, а двумя плавными ветвями с учётом их поведения около осей.

График симметричен относительно начала координат, потому что для противоположных аргументов получаются противоположные значения: если y = k/x, то при -x значение равно -y. При больших по модулю x дробь k/x приближается к нулю, а при x, близком к нулю, значение y становится очень большим по модулю. Поэтому ветви приближаются к осям Ox и Oy, но не пересекают их.

При одном и том же x увеличение |k| увеличивает |y|, так как y = k/x. Значит, точки удаляются от оси Ox, а вся гипербола располагается дальше от обеих осей. Смена знака k не меняет форму графика, но переносит ветви из первой и третьей четвертей во вторую и четвёртую или наоборот.

Свойства функции y = k/x

В таблице сначала найдите знак коэффициента, а затем используйте соответствующий столбец. Область определения и множество значений в обоих случаях одинаковы, а четверти и изменение функции зависят от знака k. Такие свойства позволяют проверять построенный график без вычисления большого числа точек.

Разбор задач

Задача 1. Построение графика

Постройте график функции y = 6/x, выбрав несколько удобных значений x. Коэффициент положителен, поэтому заранее ожидаем ветви в первой и третьей четвертях. Возьмём такие значения x, чтобы деление выполнялось без сложных вычислений.

1. Составим таблицу: x = -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6.
2. Вычислим значения: y = -1, -2, -3, -6, 6, 3, 2, 1 соответственно.
3. Отметим точки (-6; -1), (-3; -2), (-2; -3), (-1; -6) и симметричные им точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1).
4. Проведём две плавные ветви, не пересекающие оси координат.

Ответ: график — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях. Выбранные точки показывают её форму, а симметрия помогает построить обе ветви точнее.

Задача 2. Определение четвертей

Определите, в каких четвертях расположен график y = −4/x, и объясните ответ. Здесь коэффициент k = −4 отрицателен, поэтому координаты x и y должны иметь противоположные знаки. Этого достаточно, чтобы определить положение обеих ветвей.

1. Если x > 0, то y = −4/x < 0, значит, точка находится в четвёртой четверти.
2. Если x < 0, то y = −4/x > 0, значит, точка находится во второй четверти.
3. Следовательно, ветви графика расположены во второй и четвёртой четвертях.

Ответ: график y = −4/x находится во второй и четвёртой четвертях. Причина — отрицательный знак коэффициента и противоположные знаки координат.

Задача 3. Принадлежность точек графику

Точка A(3; b) принадлежит графику y = −12/x. Найдите b и проверьте, принадлежит ли этому графику точка B(−2; 6). Для проверки достаточно подставить координаты каждой точки в формулу и сравнить полученное значение с указанной второй координатой.

1. Для точки A подставим x = 3: b = −12/3 = −4.
2. Значит, A имеет координаты (3; −4), и её значение b равно −4.
3. Для точки B подставим x = −2: y = −12/(−2) = 6.
4. Полученное значение совпадает с координатой y точки B, поэтому она принадлежит графику.

Ответ: b = −4; точка A имеет координаты (3; −4), а точка B(−2; 6) принадлежит графику. Равенство координат после подстановки подтверждает оба вывода.

Типичные ошибки

Ошибка: включают x = 0 в область определения. Её допускают, когда смотрят на множество всех чисел и забывают о знаменателе. Проверьте себя: значение, стоящее в знаменателе, не должно быть нулём.

Ошибка: помещают график при k < 0 в первую и третью четверти. Причина в том, что запоминают расположение ветвей при положительном k, но не проверяют знак произведения xy. Возьмите x > 0 и вычислите y: при отрицательном k результат должен быть отрицательным.

Ошибка: соединяют точки отрезками или проводят ветви через оси. Так делают, перенося привычный способ построения ломаных графиков на кривую с разрывом в нуле. Проверьте рисунок по формуле: ветви должны быть плавными, отдельными и не пересекать оси.

Ошибка: считают графики y = k/x и y = −k/x совпадающими. Забывают, что смена знака коэффициента меняет знаки значений y и переносит ветви в другие четверти. Подставьте одно положительное x в обе формулы и сравните получившиеся значения.

Связь с другими темами

До изучения функции y = k/x нужны навыки подстановки значения аргумента в формулу и работы с координатной плоскостью. Эти умения позволяют составлять таблицу и отмечать точки без лишних вычислительных ошибок. Знание знаков чисел помогает сразу определить четверти графика.

Тема связана с прямой пропорциональностью y = kx. В обоих случаях коэффициент k влияет на зависимость величин, но при прямой пропорциональности произведение не сохраняется, а при обратной постоянным является произведение xy. Сравнение формул помогает различать виды функций.

График y = k/x нужен при изучении обратной пропорциональности и решении задач на зависимость величин. Он показывает, как одна величина изменяется при сохранении постоянного произведения. Это встречается, например, в задачах о скорости и времени при фиксированном расстоянии.

Что запомнить

• Функция y = k/x задаётся при k ≠ 0.
• Область определения: все числа, кроме нуля.
• Множество значений: все числа, кроме нуля.
• При k > 0 ветви расположены в первой и третьей четвертях.
• При k < 0 ветви расположены во второй и четвёртой четвертях.
• График функции y = k/x — гипербола, симметричная относительно начала координат.
• Ветви гиперболы приближаются к осям координат, но не пересекают их.