6.1 Статистические характеристики

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество. Его можно обозначать x̄: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Оно помогает оценить общий уровень набора чисел.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями: R = xmax − xmin. Для его нахождения достаточно сравнить числа и вычесть меньшее из большего. Размах показывает, насколько далеко друг от друга находятся крайние значения.

Мода — значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. У набора может быть одна мода, несколько мод или ни одной, если все значения повторяются одинаково часто. Мода особенно полезна, когда нужно узнать самый распространённый результат.

Медиана — центральное значение упорядоченного набора данных. При нечётном количестве чисел берут число, стоящее ровно посередине, а при чётном находят среднее двух центральных чисел. Медиана показывает середину набора и меньше зависит от крайних значений, чем среднее.

Как это устроено

Перед нахождением медианы числа упорядочивают по возрастанию или убыванию. В исходной последовательности середина может быть только случайным местом, потому что числа расположены не по величине. После упорядочивания слева и справа от центрального значения оказывается примерно одинаковое количество элементов.

Среднее арифметическое характеризует общий уровень данных, потому что каждое значение вносит вклад в общую сумму. Если значения близки, среднее обычно хорошо представляет весь набор. Но одно резко отличающееся число меняет сумму и поэтому может заметно сдвинуть среднее в большую или меньшую сторону.

Моду определяют по частоте повторения, то есть по тому, сколько раз встречается каждое значение. Самое большое число или число, стоящее в середине, модой не становится автоматически. Одна мода возникает при одном явном лидере по частоте, несколько — при равенстве нескольких лидеров, а при полном равенстве частот мода отсутствует.

Размах показывает степень разброса через два крайних значения: минимум и максимум. Большой размах означает, что границы набора находятся далеко друг от друга, а маленький — что они близки. Однако размах не говорит, где расположены остальные числа: внутри одного и того же промежутка они могут быть собраны в центре или распределены равномерно.

Статистические характеристики отвечают на разные вопросы о наборе данных. Среднее показывает общий уровень, мода — наиболее частый результат, медиана — середину, а размах — ширину разброса. Поэтому для правильного вывода полезно сопоставлять несколько характеристик, а не делать вывод только по одной.

Основные статистические характеристики

Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: сначала определите, какую характеристику требуется найти, затем выполните соответствующее действие. Для медианы сначала обязательно упорядочьте числа, а для моды подсчитайте, сколько раз встречается каждое значение.

Разбор задач

Задача 1

Для набора чисел 4, 7, 5, 4, 10 найдём все четыре характеристики. Одновременно вычислять их не стоит: для каждой характеристики нужен свой порядок действий. Сначала подготовим данные, а затем применим определения.

1. Упорядочим набор: 4, 4, 5, 7, 10.
2. Среднее арифметическое: (4 + 7 + 5 + 4 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6.
3. Размах: 10 − 4 = 6.
4. Чаще всего встречается 4, значит, мода равна 4.
5. В наборе пять чисел, центральным является третье число, поэтому медиана равна 5.

Ответ: среднее арифметическое — 6, размах — 6, мода — 4, медиана — 5.

Задача 2

Найдём медиану набора 3, 8, 5, 11, 6, 4. Здесь шесть значений, то есть их количество чётное. Поэтому одного центрального числа нет, и выбирать только одно из двух стоящих в центре нельзя.

1. Упорядочим числа: 3, 4, 5, 6, 8, 11.
2. Центральные значения — третье и четвёртое: 5 и 6.
3. Найдём их среднее: (5 + 6) / 2 = 5,5.

Ответ: медиана равна 5,5. Числа 5 и 6 одинаково близки к середине набора, поэтому используют их среднее.

Задача 3

В первом классе результаты 6, 7, 7, 8, 7, а во втором — 3, 5, 7, 9, 11. Среднее обоих наборов равно 7, поэтому по нему классы выглядят одинаково. Сравним размах, чтобы увидеть различие в разбросе.

1. Для первого класса минимальный результат 6, максимальный 8: R₁ = 8 − 6 = 2.
2. Для второго класса минимум равен 3, максимум — 11: R₂ = 11 − 3 = 8.
3. Сравним результаты: 8 больше 2 в четыре раза.

Ответ: во втором классе разброс значительно больше, хотя средние результаты одинаковы. Значит, одного среднего арифметического недостаточно для полного сравнения наборов.

Типичные ошибки

Медиану находят в неупорядоченном наборе. Так происходит, когда исходный порядок чисел принимают за расположение по величине. Проверьте себя: перед выбором середины расставьте все значения от меньшего к большему.

При чётном числе значений выбирают одно центральное число. В таком наборе между левой и правой половинами находятся два элемента, а не один. Пересчитайте количество чисел и, если оно чётное, найдите среднее двух центральных.

Размах путают со средним арифметическим. Иногда из одного числа вычитают среднее или получают отрицательный результат. Найдите максимум и минимум отдельно, затем выполните именно действие xmax − xmin.

Модой считают самое большое или среднее значение. Эти признаки относятся к другим характеристикам и не определяют частоту. Выпишите, сколько раз встречается каждое число, и выберите значение с наибольшим количеством повторений.

Связь с другими темами

Для вычислений нужны навыки сложения, деления, сравнения чисел и упорядочивания набора. Без них легко ошибиться при выборе максимума, минимума или центральных значений.

Статистические характеристики применяют к оценкам, результатам измерений, ответам в опросах и данным таблиц. Они позволяют заменить длинный список чисел несколькими понятными показателями.

Эта тема пригодится при изучении вероятности и статистики, а также при работе с диаграммами и таблицами. По характеристикам можно сравнивать наборы и делать выводы о данных.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Размах равен разности максимального и минимального значений.
• Мода встречается чаще остальных значений.
• Мода может отсутствовать или быть не единственной.
• Медиану находят только после упорядочивания данных.
• При чётном числе значений медиана равна среднему двух центральных значений.
• Для полного описания набора данных полезно рассматривать несколько характеристик.