6.2 Вероятность случайного события

Определения и обозначения

Случайное событие — событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти. Например, при броске кубика может выпасть чётное число, но это не обязательно случится. Такое понятие нужно, чтобы описывать результат опыта и оценивать его возможность.

Элементарный исход — отдельный возможный результат случайного опыта. Для одного броска кубика это выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Элементарные исходы служат строительными частями, из которых составляют событие.

Равновозможные исходы — исходы, каждый из которых имеет одинаковую вероятность наступления. У правильного кубика все шесть результатов равновозможны. Это условие позволяет сравнивать количества исходов и применять формулу дроби.

Вероятность события — числовая характеристика возможности наступления события. Её обозначают, например, P(A), где A — название события. Вероятность помогает выразить случайность числом от 0 до 1.

Как это устроено

Сначала случайный опыт разбивают на все возможные элементарные исходы. Их нужно перечислить без пропусков и повторений, иначе общее число результатов будет неверным. Например, при броске кубика полный список состоит из шести исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Если исходы равновозможны, вероятность события находят как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов: P(A) = m/n. Такое деление показывает, какая часть всех одинаково возможных результатов подходит условию. Поэтому в знаменателе стоит общее количество исходов, а в числителе — только подходящие.

Чтобы определить благоприятные исходы, нужно перевести условие задачи на язык результатов опыта. Для события Выпало чётное число при броске кубика подходят 2, 4 и 6, поэтому благоприятных исходов три. Не следует считать само слово чётное или число вариантов ответа: нужно перечислить реальные результаты опыта.

Вероятность не может быть меньше 0, потому что количество благоприятных исходов неотрицательно, и не может быть больше 1, потому что оно не превосходит общего числа исходов. Если подходящих исходов нет, событие невозможное и его вероятность равна 0. Если подходят все исходы, событие достоверное и его вероятность равна 1.

Иногда проще рассмотреть противоположное событие — событие, при котором A не произошло. События A и не A вместе охватывают все возможности, поэтому их вероятности в сумме дают 1. Отсюда получается формула P(не A) = 1 − P(A), удобная, например, при подсчёте вероятности достать шар не нужного цвета.

Виды событий и способы вычисления вероятности

Сначала определите вид события и проверьте, равновозможны ли исходы. Для случайного события найдите m и n, а для противоположного иногда быстрее применить вычитание из 1. Таблица помогает выбрать подходящую формулу и проверить смысл ответа.

Разбор задач

Задача 1. Бросок кубика

Условие: бросают игральный кубик и находят вероятность выпадения чётного числа очков. Все грани правильного кубика имеют одинаковые шансы. Поэтому можно использовать отношение благоприятных исходов к общему числу.

1. Перечислим все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Выделим чётные результаты: 2, 4, 6, значит, m = 3.
3. Всего исходов n = 6, поэтому P(A) = 3/6 = 1/2.

Ответ: вероятность равна 1/2. Это означает, что половина всех равновозможных результатов подходит условию.

Задача 2. Шары в коробке

Условие: в коробке 5 белых, 3 синих и 2 красных шара, один шар достают наугад. Требуется найти вероятность достать не синий шар. Всего шаров 10, а синих 3.

1. Событие, противоположное нужному, — достать синий шар, его вероятность равна 3/10.
2. Используем противоположное событие: P(не синий) = 1 − 3/10 = 7/10.
3. Проверим напрямую: белых и красных шаров 5 + 2 = 7, значит, получаем те же 7/10.

Ответ: вероятность достать не синий шар равна 7/10. Здесь каждый отдельный шар рассматривается как равновозможный результат.

Задача 3. Два броска монеты

Условие: монету бросают дважды и ищут вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Обозначим орла буквой О, а решку — Р. Порядок бросков нужно учитывать, потому что ОР и РО являются разными последовательностями.

1. Составим полный список: ОО, ОР, РО, РР, всего n = 4 исхода.
2. Подходят ОР и РО, в каждом из них орёл встречается ровно один раз, поэтому m = 2.
3. Находим P(A) = 2/4 = 1/2.

Ответ: вероятность равна 1/2. Полный список показывает, что ни один возможный результат не пропущен и не посчитан дважды.

Типичные ошибки

В качестве общего числа исходов иногда берут только благоприятные или забывают часть результатов. Так происходит, если сразу считают подходящие варианты и не составляют полный список. Проверьте себя: сначала выпишите все исходы, а затем посчитайте их количество.

Формулу m/n применяют без проверки равновозможности исходов или объявляют шансы разными без основания. Например, для правильной монеты результаты О и Р равновозможны. Уточните устройство опыта: если исходы имеют разные шансы, одной формулы m/n недостаточно.

Число благоприятных исходов путают с вероятностью и записывают 3 вместо 3/6. Число 3 показывает только, сколько результатов подходит, а вероятность сравнивает это число со всеми исходами. Запишите сначала m и n, а затем составьте дробь и при необходимости сократите её.

Из-за вычислительной ошибки получают вероятность больше 1 или меньше 0. Такой результат противоречит смыслу вероятности, даже если действия казались правильными. Проверьте, что 0 ≤ m ≤ n, и оцените ответ: он должен находиться от 0 до 1.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки счёта, составления вариантов исходов и действий с обыкновенными дробями. Эти умения помогают не пропустить результаты и правильно сократить вероятность.

Вероятность связана с комбинаторикой, где считают число вариантов, а также со статистикой, где анализируют данные наблюдений. Она используется и в практических задачах о риске, случайности и результатах экспериментов.

Что запомнить

• Вероятность характеризует возможность наступления события.
• Для равновозможных исходов P(A) = m/n.
• m — число благоприятных исходов, n — число всех исходов.
• Вероятность любого события лежит от 0 до 1.
• Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1.
• Вероятность противоположного события равна 1 − P(A).