14.2. Вероятность случайного события

Определения и обозначения

Случайное событие — событие, которое может произойти или не произойти в результате случайного опыта. Например, при броске кубика выпадение чётного числа является случайным событием. Это понятие позволяет описывать интересующий результат, не перечисляя заранее, каким именно будет бросок.

Равновозможные исходы — исходы случайного опыта, имеющие одинаковую вероятность наступления. У обычного игрального кубика выпадение каждого числа от 1 до 6 равновероятно. Проверка равновозможности нужна, чтобы правильно применить основную формулу вероятности.

Благоприятный исход — исход, при котором рассматриваемое событие происходит. Для события «выпало чётное число» на кубике благоприятны исходы 2, 4 и 6. Подсчёт таких исходов показывает, сколько вариантов нужно взять в числителе дроби.

Вероятность события — числовая мера возможности его наступления. При равновозможных исходах она равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: P(A) = m/n. Здесь A — событие, m — число благоприятных исходов, а n — число всех исходов.

Как это устроено

Любой случайный опыт можно разбить на отдельные исходы — конкретные результаты, которые могут получиться. Например, при броске кубика исходами считают выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие рассматривают как совокупность исходов, потому что один и тот же признак может выполняться сразу для нескольких результатов: чётному числу соответствуют три исхода.

Формулу P(A) = m/n разрешено применять только тогда, когда все исходы равновозможны. В таком случае каждый исход занимает одинаковую долю всех возможностей, поэтому доля подходящих исходов и есть вероятность события. Если шансы различаются, простое количество вариантов уже не показывает настоящую возможность наступления.

Число благоприятных исходов m определяет числитель дроби: чем больше подходящих вариантов среди тех же общих исходов, тем выше вероятность. Число всех исходов n определяет знаменатель и задаёт весь набор возможностей опыта. Например, при шести исходах и трёх благоприятных вероятность равна 3/6 = 1/2.

Числитель не может быть отрицательным и не может превышать знаменатель, поэтому вероятность находится в пределах 0 ≤ P(A) ≤ 1. Если благоприятных исходов нет, событие невозможно и его вероятность равна 0. Если благоприятны все исходы, событие достоверно и его вероятность равна 1.

Противоположное событие «не A» происходит тогда, когда A не происходит. События A и «не A» вместе охватывают все исходы и не могут наступить одновременно, поэтому их вероятности в сумме дают 1. Отсюда следует формула P(не A) = 1 − P(A), удобная, когда напрямую считать противоположный результат проще.

Основные понятия и формулы теории вероятностей

В таблице собраны обозначения и признаки, которые помогают выбрать способ решения. Сначала определите событие и его благоприятные исходы, затем проверьте равновозможность всех исходов. После этого можно использовать отношение m/n или формулу для противоположного события.

Разбор задач

Задача 1

Бросают игральный кубик. Найдём вероятность выпадения чётного числа. У кубика шесть равновозможных исходов, а чётными являются три результата.

1. Запишем все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Выделим благоприятные: 2, 4, 6, поэтому m = 3, n = 6.
3. Применим формулу: P(A) = 3/6 = 1/2.

Ответ: 1/2.

Задача 2

Монету подбрасывают два раза. Нужно, чтобы орёл выпал ровно один раз. Пары исходов равновозможны: орёл–орёл, орёл–решка, решка–орёл, решка–решка.

1. Всего получаем n = 4 пары исходов.
2. Подходят две пары: орёл–решка и решка–орёл, значит m = 2.
3. Находим вероятность: P(A) = 2/4 = 1/2.

Ответ: 1/2.

Задача 3

В коробке 2 красных и 3 синих шара, всего 5 шаров. Два шара вынимают без возвращения, поэтому после первого извлечения общее количество шаров и число красных могут измениться. Требуется, чтобы оба вынутых шара были красными.

1. Вероятность вынуть красный первым равна 2/5.
2. Если первый шар красный, остаётся 1 красный из 4 шаров, поэтому вероятность второго красного равна 1/4.
3. Перемножаем вероятности последовательных шагов: P(A) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10.

Ответ: 1/10.

Типичные ошибки

Игнорирование неравновозможности. Иногда все варианты считают одинаковыми без проверки, хотя одни исходы вероятнее других. Перед формулой m/n спросите, одинаковы ли шансы каждого исхода.

Неверный выбор благоприятных исходов. Можно включить неподходящий результат или пропустить подходящий при неполном переборе. Выпишите все исходы и напротив каждого проверьте условие события.

Неизменное число предметов при извлечении без возвращения. После первого извлечения шар не возвращается, поэтому следующий знаменатель уменьшается, а состав меняется. Записывайте состояние коробки после каждого шага.

Вероятность больше 1 или меньше 0. Такая запись указывает на ошибку в подсчёте или дробях. Проверьте вычисления и убедитесь, что итог удовлетворяет неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны умения перечислять варианты, считать их количество и работать с дробями. Вероятность опирается на понятия случайного опыта, множества исходов и противоположного события. Позже эти идеи используются в статистике, комбинаторике и изучении случайных величин, а также помогают оценивать риск в практических ситуациях.

Что запомнить

• Вероятность случайного события обозначают P(A).
• При равновозможных исходах P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, а n — общее число исходов.
• Вероятность любого события находится в пределах от 0 до 1.
• Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1.
• Чем больше доля благоприятных исходов, тем выше вероятность события.
• Сумма вероятностей события и противоположного ему события равна 1.
• Перед применением формулы нужно проверить, что все рассматриваемые исходы равновозможны.