14.1. Случайные события

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно перечислить. Например, бросок монеты или кубика является опытом. Это понятие задаёт условия, в которых рассматривают появление события.

Элементарный исход — один отдельный возможный результат случайного опыта. При броске кубика такими исходами считают выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Перечень исходов помогает не пропустить варианты и точно проверить событие.

Случайное событие — событие, которое при данном опыте может произойти, а может и не произойти; его связывают с одним или несколькими исходами. Например, событию «выпало чётное число» соответствуют исходы 2, 4 и 6. Такое описание показывает, при каких результатах событие считается наступившим.

Достоверное событие происходит при каждом исходе, а невозможное событие не происходит ни при каком исходе. При броске кубика событие «выпало число от 1 до 6» достоверно, а «выпало 8» невозможно. Эти виды нужны для сравнения события со всем множеством возможных результатов.

Как это устроено

Случайный опыт задаёт условия наблюдения, а исход описывает то, что получилось после выполнения опыта. Например, «бросили кубик» — это опыт, а «выпала грань 4» — его исход. Такое различие нужно, потому что один опыт может иметь много разных результатов.

Возможные элементарные исходы сначала перечисляют, чтобы получить полный набор вариантов. Если бросают кубик, нельзя ограничиться числами 1 и 6: нужно учесть все результаты от 1 до 6. Только после этого можно точно установить, какие исходы приводят к интересующему событию.

Событие связывают с исходами: оно происходит, если реализуется хотя бы один исход, которым задано. Поэтому событие может соответствовать одному варианту или объединять несколько вариантов. Например, при броске кубика событие «выпало число больше 4» связано с исходами 5 и 6.

Случайное событие отличается от достоверного и невозможного не степенью уверенности, а сравнением со всеми возможными исходами. Если подходят некоторые, но не все исходы, событие случайное; если подходят все — достоверное. Если не подходит ни один, событие невозможное.

Описание опыта должно быть точным, потому что от условий зависит список исходов. Если не указать, сколько граней у кубика или какие жетоны лежат в мешке, нельзя однозначно определить результаты. Изменение правил опыта может изменить и вид одного и того же события.

Виды событий и их связь с исходами опыта

Пользуйтесь таблицей после того, как выписали все исходы опыта. Сравните с ними исходы, задающие событие: частичное совпадение означает случайное событие, полное — достоверное, отсутствие совпадений — невозможное. Такой порядок помогает не делать вывод по одному выбранному результату.

Разбор задач

Задача 1

При броске монеты перечислите элементарные исходы и определите, является ли событие «выпал герб» случайным. Здесь важно отличать сам бросок от результата, который после него наблюдают.

1. У монеты есть два возможных результата: выпал герб или выпала решка.
2. Событию «выпал герб» соответствует только один из двух исходов.
3. Другой исход, «выпала решка», не приводит к этому событию, поэтому событие происходит не всегда.

Ответ: элементарные исходы — герб и решка; событие «выпал герб» случайное.

Задача 2

При броске игрального кубика рассмотрите события «выпало чётное число», «выпало число меньше 7» и «выпало число 8». Определим вид каждого события по отношению ко всем исходам 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

1. Чётными являются исходы 2, 4 и 6. Они составляют только часть всех исходов, значит, первое событие случайное.
2. Каждое число от 1 до 6 меньше 7. Второе событие соответствует всем исходам и является достоверным.
3. Числа 8 среди исходов кубика нет. Третье событие не имеет подходящих исходов и является невозможным.

Ответ: «выпало чётное число» — случайное событие; «выпало число меньше 7» — достоверное; «выпало число 8» — невозможное.

Задача 3

В мешке находятся красные и синие жетоны. Наугад извлекают один жетон. Нужно описать элементарные исходы и проверить события «извлечён красный жетон» и «извлечён зелёный жетон».

1. Если цвет каждого жетона важен, возможные исходы по цвету — красный и синий.
2. Событию «извлечён красный жетон» соответствует исход «красный», поэтому оно может произойти или не произойти и является случайным.
3. Зелёных жетонов по условию нет, следовательно, исход «зелёный» отсутствует. Событие «извлечён зелёный жетон» невозможно.

Ответ: элементарные исходы — красный и синий; первое событие случайное, второе невозможное.

Типичные ошибки

Ошибка: считать событие и исход одним и тем же. Исход — один конкретный результат, а событие может объединять несколько исходов, например 2, 4 и 6. Проверьте себя: спросите, может ли условию события соответствовать больше одного результата.

Ошибка: называть событие невозможным только потому, что оно кажется маловероятным. Редкий результат всё равно возможен, если он есть в списке исходов. Для проверки нужно найти хотя бы один исход, при котором событие наступает.

Ошибка: объявлять событие достоверным, не перечислив все исходы. Достаточно одного результата, при котором условие не выполняется, чтобы событие не было достоверным. Составьте полный список и сравните с ним событие.

Ошибка: забывать условия опыта. Если изменить состав жетонов или заменить кубик другим предметом, изменится перечень исходов и иногда вид события. Перед решением перечитайте, какие предметы участвуют и что именно считается результатом.

Связь с другими темами

До изучения темы полезно уметь перечислять результаты простых опытов и понимать, что такое множество объектов. Это позволяет рассматривать исходы как набор вариантов и выбирать из него нужные элементы. Понятия случайного события и исхода понадобятся при изучении вероятности событий и задач на подсчёт возможных результатов.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет несколько возможных результатов.
• Элементарный исход — один отдельный результат опыта.
• Событие задаётся одним или несколькими исходами.
• Случайное событие может произойти, а может не произойти.
• Достоверное событие происходит при любом исходе.
• Невозможное событие не происходит ни при одном исходе.