Случайные события

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Например, при броске кубика заранее неизвестно, какое число появится. Понятие опыта нужно, чтобы точно задать условия, в которых мы будем рассматривать события.

Событие — утверждение о результате опыта, про которое после опыта можно сказать, произошло оно или нет. Например, «выпало число больше 4» — событие при броске кубика. Это понятие помогает описывать не только отдельный результат, но и условие, которому могут соответствовать разные результаты.

Достоверное событие — событие, которое обязательно происходит при данном опыте. При броске правильного кубика выпадет число от 1 до 6. Достоверные события помогают выделить утверждения, верные при любом возможном результате опыта.

Невозможное событие — событие, которое не может произойти при данном опыте. Например, при броске обычного кубика невозможно получить 8. Так называют условие, которому не соответствует ни один результат опыта.

Случайное событие — событие, которое при данном опыте может произойти, а может и не произойти. Например, при броске кубика может выпасть число 6, но возможны и другие результаты. Это понятие нужно, когда мы описываем не гарантированный и не исключённый исход.

Как это устроено

Чтобы говорить о случайности, сначала задают опыт и его возможные результаты. Например, «бросили кубик» задаёт одно действие, а возможными результатами будут числа от 1 до 6. Без этого списка непонятно, с чем сравнивать условие события. Если изменить опыт, изменится и набор результатов, поэтому вид события тоже может измениться.

Событие связывают с результатами через его условие: событие происходит, если полученный результат этому условию соответствует. Например, событие «выпало чётное число» включает результаты 2, 4 и 6. Если выпало 4, событие произошло; если 5 — не произошло. Поэтому событие может соответствовать сразу нескольким результатам, а не только одному.

Случайное событие нельзя заранее назвать ни достоверным, ни невозможным, потому что среди результатов есть подходящие и неподходящие. При броске кубика для события «выпало число меньше 3» подходят 1 и 2, но не подходят 3, 4, 5 и 6. Значит, событие может произойти, но не обязано. Если бы подходили все результаты, событие было бы достоверным, а если бы не подходил ни один — невозможным.

Проверять виды событий удобно на простых примерах. При броске кубика событие «выпало число от 1 до 6» достоверное, а «выпало 0» невозможное. Если наугад взять предмет из коробки с красными и синими карандашами, событие «взяли красный карандаш» случайное. В наблюдении за погодой событие «завтра пойдёт дождь» тоже может произойти или не произойти, если условия наблюдения заданы заранее.

Одно утверждение не всегда имеет один и тот же вид без уточнения опыта. «Вынули красный шар» — случайное событие, если в мешке есть шары разных цветов, и невозможное, если красных шаров в нём нет. Значит, одного текста события недостаточно: нужно знать, что именно делают и какие результаты возможны. Только после этого утверждение можно проверить и классифицировать.

Виды событий

Чтобы пользоваться таблицей, сначала уточните опыт и перечислите его результаты. Затем проверьте, соответствуют ли условию события все результаты, ни один или только некоторые. Так вы определите, достоверное событие, невозможное или случайное.

Разбор задач

Задача 1. При одном броске кубика назовите событие «выпало число меньше 7» и определите его вид. Нужно сравнить условие с результатами, которые вообще может дать кубик. Правильный кубик имеет грани с числами от 1 до 6.

1. Перечислим возможные результаты: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Проверим каждый результат: все числа от 1 до 6 меньше 7.
3. Значит, событие происходит при любом результате и является достоверным.

Ответ: событие «выпало число меньше 7» — достоверное.

Задача 2. При одном броске кубика определите вид событий: «выпало 8», «выпало чётное число», «выпало число от 1 до 6». Важно не угадывать вид события по формулировке, а проверить, какие грани подходят под каждое условие. Возможны только результаты 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1. Число 8 не встречается среди результатов, поэтому событие «выпало 8» невозможно.
2. Чётными являются 2, 4 и 6, а нечётными — 1, 3 и 5. Значит, «выпало чётное число» может произойти, но может и не произойти; это случайное событие.
3. Все возможные результаты — числа от 1 до 6, поэтому событие «выпало число от 1 до 6» достоверное.

Ответ: невозможное, случайное, достоверное — в указанном порядке.

Задача 3. В мешке лежат 3 красных и 2 синих шара. Наугад вынимают один шар. Сформулируйте достоверное, невозможное и случайное событие. Сначала определим все возможные результаты: вынутый шар может быть красным или синим, и шар каждого цвета в мешке есть.

1. Событие «вынут красный или синий шар» достоверное: других цветов в мешке нет.
2. Событие «вынут зелёный шар» невозможное: зелёных шаров в мешке нет.
3. Событие «вынут красный шар» случайное: красные шары есть, но можно вынуть синий.

Ответ: приведены достоверное, невозможное и случайное события для этого опыта.

Типичные ошибки

Ошибка — называть событие случайным только потому, что результат опыта заранее неизвестен. Неопределённым может быть и результат, который всё равно всегда приводит к достоверному событию. Проверьте, есть ли среди возможных результатов и подходящие, и неподходящие под условие события.

Ошибка — считать событие невозможным, если оно маловероятно. Его могут путать с событием, которое почти не случается, потому что оба кажутся «почти исключёнными». Для проверки достаточно найти хотя бы один возможный результат, при котором событие происходит: если такой результат есть, событие не невозможное.

Ошибка — определять вид события, не указывая опыт. Например, событие «вынули красный шар» нельзя классифицировать, пока неизвестно, какие шары лежат в мешке. Сверьте условие задачи и состав возможных результатов; именно они задают ответ.

Ошибка — путать событие с отдельным результатом опыта. Результат — например, число 4 при броске кубика, а событие «выпало чётное число» объединяет несколько результатов. Чтобы проверить себя, спросите, описывает ли фраза один конкретный исход или условие, которому могут соответствовать разные исходы.

Связь с другими темами

Для работы с событиями пригодится умение перечислять возможные результаты простого опыта: например, все числа на кубике или цвета шаров в мешке. Также нужно внимательно читать условие задачи, чтобы понимать, что именно делают и какие предметы или исходы возможны. Если список результатов составлен неверно, событие легко ошибочно назвать достоверным или невозможным.

Различение видов событий подготавливает к сравнению их шансов и изучению вероятности. Чтобы рассуждать о том, какое событие вероятнее, сначала нужно знать, какие результаты ему подходят и какие результаты вообще возможны. Здесь мы учимся описывать эту связь, не вычисляя вероятность.

Что запомнить

• Событие рассматривают только вместе с конкретным опытом.
• После опыта событие либо произошло, либо не произошло.
• Достоверное событие происходит обязательно.
• Невозможное событие не происходит ни при одном исходе опыта.
• Случайное событие может произойти, а может не произойти.
• Чтобы определить вид события, сравнивают его условие со всеми возможными результатами.