14.3. Сумма, произведение и разность случайных событий

Определения и обозначения

Сумма событий A+B — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B. Оно происходит, когда случилось только A, только B или оба события вместе. Такое обозначение удобно, когда достаточно выполнения хотя бы одного условия.

Произведение событий AB — событие, состоящее в одновременном наступлении A и B. Для него должны выполниться оба условия одного испытания. Произведение помогает выделить общую часть событий.

Разность событий A−B — событие, при котором A произошло, а B не произошло. В неё входят только исходы A, не относящиеся к B. Эта операция нужна, когда требуется исключить из одного события результаты другого.

Несовместимые события — события, которые не могут наступить одновременно. Поэтому их произведение AB является невозможным событием и имеет вероятность 0. Например, при одном броске кости события «выпало 2» и «выпало 5» несовместимы.

Как это устроено

Каждое событие можно представить как множество элементарных исходов, то есть всех конкретных результатов испытания. В сумму входят исходы, принадлежащие A или B хотя бы один раз; это объединение множеств. В произведение попадают только исходы, общие для A и B, потому что они одновременно удовлетворяют двум условиям. В разность A−B входят исходы A после удаления тех, которые принадлежат B.

Событие A+B наступает, если случилось хотя бы одно из двух событий. При этом нельзя требовать, чтобы произошло ровно одно: общий случай, когда наступили A и B, тоже входит в сумму. Поэтому сумма шире, чем простое перечисление отдельных вариантов, и включает их пересечение.

Произведение AB называют пересечением событий: оно оставляет только общие исходы. Такое событие возможно лишь тогда, когда условия A и B совместимы. Если общих исходов нет, произведение является невозможным событием, его вероятность равна нулю.

В формуле P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB) пересечение вычитают из-за двойного счёта. Сначала общие исходы попадают и в вероятность A, и в вероятность B, а значит, учитываются дважды. Одно вычитание возвращает им правильный, однократный счёт. Аналогично P(A−B)=P(A)−P(AB), потому что из A удаляется его общая часть с B.

Формула P(AB)=P(A)P(B) имеет дополнительное условие: события должны быть независимыми. Независимость означает, что наступление одного события не меняет вероятность другого. Если события связаны, их произведение нельзя автоматически заменять произведением вероятностей.

Операции над случайными событиями

Сначала определите, какое условие описывает задача: «хотя бы одно», «оба сразу» или «первое без второго». Затем проверьте, могут ли события произойти одновременно, и только после этого выбирайте формулу. Если используется формула произведения вероятностей, отдельно убедитесь в независимости событий.

Разбор задач

Задача 1

При бросании игральной кости A — выпадение чётного числа, B — выпадение числа, большего 4. Нужно найти A+B, AB, A−B и их вероятности.

1. Запишем исходы: A={2, 4, 6}, B={5, 6}. Тогда A+B={2, 4, 5, 6}, поскольку берём все исходы из обоих событий.
2. Общие исходы дают AB={6}. В разности A−B остаются {2, 4}: исход 6 удаляется, так как он принадлежит B.
3. Так как у кости шесть равновероятных исходов, получаем P(A+B)=4/6=2/3, P(AB)=1/6, P(A−B)=2/6=1/3.

Ответ: A+B={2, 4, 5, 6}, AB={6}, A−B={2, 4}; вероятности равны 2/3, 1/6 и 1/3.

Задача 2

При бросании двух костей A — сумма очков равна 7, B — на первой кости выпало 6. Требуется найти P(A+B).

1. Всего 36 равновероятных пар. Сумму 7 дают 6 пар, поэтому P(A)=6/36=1/6. На первой кости 6 выпадает в 6 парах, значит P(B)=1/6.
2. Пересечение AB возможно только при паре (6;1): сумма равна 7, а на первой кости стоит 6. Поэтому P(AB)=1/36.
3. Применяем формулу суммы: P(A+B)=1/6+1/6−1/36=11/36. Пересечение вычитается, поскольку пара (6;1) была посчитана в обоих событиях.

Ответ: P(A+B)=11/36.

Задача 3

Монету бросают два раза. A — герб при первом броске, B — герб при втором броске. Нужно найти вероятности AB, A+B и A−B.

1. Броски независимы, а P(A)=P(B)=1/2. Поэтому P(AB)=P(A)P(B)=1/4.
2. Для суммы получаем P(A+B)=1/2+1/2−1/4=3/4. Это вероятность того, что герб появится хотя бы в одном из двух бросков.
3. Для разности используем P(A−B)=P(A)−P(AB)=1/2−1/4=1/4. Здесь герб должен быть на первом броске и отсутствовать на втором.

Ответ: P(AB)=1/4, P(A+B)=3/4, P(A−B)=1/4.

Типичные ошибки

Путать сумму и произведение. Иногда A+B понимают как обязательное наступление обоих событий, но это произведение AB. Проверьте себя вопросом: достаточно ли одного условия или нужны оба?

Не вычитать пересечение. Формула P(A)+P(B) без поправки подходит только для несовместимых событий. Если общий исход возможен, найдите AB и вычтите его вероятность, чтобы не посчитать исход дважды.

Менять местами разность. В A−B удаляются исходы B из события A, а не наоборот. Выпишите множества событий и сначала зачеркните элементы B внутри A.

Автоматически перемножать вероятности. Равенство P(AB)=P(A)P(B) требует независимости. Проверьте, влияет ли результат одного события на вероятность другого; если влияет, формулу применять нельзя.

Связь с другими темами

Для операций над событиями нужны элементарные исходы, достоверные и невозможные события, вероятность и операции с множествами. Эти знания позволяют переводить текст условия на язык множеств.

Операции помогают вычислять вероятности сложных событий, составленных из нескольких условий. Позже они используются при изучении независимости, условной вероятности и схем случайных испытаний.

Что запомнить

• Сумма событий означает наступление хотя бы одного из них.
• Произведение событий означает одновременное наступление обоих событий.
• Разность A−B означает наступление A при ненаступлении B.
• Для суммы совместных событий вычитают вероятность их произведения.
• Для несовместимых событий вероятность произведения равна нулю.
• Равенство P(AB)=P(A)P(B) верно для независимых событий.
• Разность событий зависит от порядка: A−B и B−A обычно различны.