14.4. Несовместные события. Независимые события

Определения и обозначения

Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно. Их пересечение A ∩ B является невозможным событием. Это понятие нужно, чтобы понять: общих исходов нет и вероятность суммы можно находить простым сложением.

Сумма событий — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из рассматриваемых событий. Запись A + B означает: произошло A, произошло B или произошли оба события. Такое обозначение помогает описывать условия со словами «или», «хотя бы одно».

Произведение событий — событие, состоящее в одновременном наступлении всех рассматриваемых событий. Запись A · B означает, что должны выполниться и A, и B. Это обозначение используется в задачах со словами «оба», «вместе», «одновременно».

Независимые события — события, при которых наступление одного не изменяет вероятность наступления другого. Для них действует правило P(A · B) = P(A) · P(B). Понятие помогает решать задачи, где несколько испытаний не влияют друг на друга.

Как это устроено

У несовместных событий нет общего исхода: один результат не может одновременно относиться к A и к B. Поэтому при нахождении события A + B мы просто объединяем два непересекающихся набора исходов. Ни один исход не учитывается дважды, и получается P(A + B) = P(A) + P(B).

Распознать несовместность можно по смыслу условия. Нужно представить один опыт и проверить, способен ли один и тот же его результат удовлетворить обоим требованиям. Если при одном броске кубика требуется получить и чётное, и нечётное число, события несовместны, а если требуется получить число больше 3 и чётное число, они могут совпасть.

Для независимых событий результат первого испытания не меняет шансы второго. Например, после выпадения орла при первом броске честной монеты вероятность орла при втором броске остаётся равной ½. Поэтому вероятность совместного наступления равна произведению: P(A · B) = P(A) · P(B).

Независимость и несовместность описывают разные свойства. Несовместные события не могут произойти вместе, а независимые, наоборот, могут наступить одновременно, просто одно из них не влияет на другое. Например, орёл в первом и орёл во втором броске независимы, а выпадение 2 и 5 на одном броске кубика несовместны.

Формулу выбирают по связи событий и смыслу условия. Для «A или B» сначала проверяют, могут ли события пересекаться: при несовместности вероятности складывают, а при возможном пересечении одной этой формулы недостаточно. Для «A и B» проверяют влияние событий: при независимости вероятности умножают, а при зависимости используют изменившуюся вероятность следующего события.

Несовместные и независимые события

Таблицу удобно использовать как короткий алгоритм выбора правила. Сначала определите, соединены события словами «или» или «и», затем проверьте возможность совместного наступления и влияние одного результата на другой. После этого подставьте вероятности в подходящую формулу.

Разбор задач

Задача 1

При броске игрального кубика найдём вероятность выпадения 1 или 6. Эти события относятся к одному броску, поэтому одновременно выпасть не могут. Значит, применяем правило сложения для несовместных событий.

1. У кубика 6 равновероятных исходов, поэтому P(1) = 1/6 и P(6) = 1/6.
2. События несовместны: один кубик не может показать сразу два разных числа.
3. Вычисляем: P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3.

Задача 2

Монету бросают два раза и ищут вероятность того, что оба раза выпадет орёл. Результат первого броска не меняет свойства монеты и шансы второго броска. Поэтому события независимы, а слово «оба» указывает на произведение событий.

1. Вероятность орла при каждом броске равна 1/2.
2. Перемножаем вероятности независимых событий: P(орёл и орёл) = 1/2 · 1/2.
3. Получаем 1/4.

Ответ: 1/4.

Задача 3

В урне 5 красных и 3 синих шара, всего 8 шаров. Два шара извлекают без возвращения, поэтому после первого выбора состав урны меняется. События зависимы, но вероятность последовательного результата всё равно находят умножением условных вероятностей.

1. Вероятность вынуть красный шар первым равна 5/8.
2. Если первый шар красный и его не вернули, остаются 4 красных шара из 7, поэтому вероятность красного второго шара равна 4/7.
3. Перемножаем: P(красный и красный) = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.

Ответ: 5/14.

Типичные ошибки

Иногда складывают вероятности событий, которые могут произойти одновременно. Так механически применяют правило для несовместных событий, хотя общие исходы будут посчитаны повторно. Проверьте, может ли один результат удовлетворить обоим условиям; если да, простое сложение использовать нельзя.

Другая ошибка — считать любые события независимыми только потому, что они описаны в одной задаче. Независимость означает отсутствие влияния результата одного события на вероятность другого. Спросите себя, изменится ли состав объектов, условия опыта или число подходящих исходов после первого результата.

Несовместность часто путают с независимостью. Если одно из двух событий произошло, несовместное второе при положительной вероятности уже невозможно, то есть его вероятность изменилась. Значит, такие события обычно зависимы, хотя могут быть независимыми в особом случае с событием нулевой вероятности.

При выборе без возвращения нередко оставляют прежнюю вероятность второго шага. Это неверно, потому что после изъятия шара меняются и число всех шаров, и число благоприятных шаров. Запишите новый состав урны перед вычислением второй вероятности.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое событие и вероятность события, а также понимать смысл суммы и произведения событий. Эти обозначения превращают словесное условие задачи в математическую запись. Без них трудно выбрать между сложением и умножением.

Правила особенно нужны в задачах на последовательные испытания и сложные события. Они помогают анализировать броски монеты и кубика, выбор предметов и другие случайные эксперименты. Отдельно важно учитывать, возвращают ли выбранный предмет обратно.

Дальше эти идеи используются в формуле полной вероятности, схемах независимых испытаний и статистических моделях. Там рассматривают уже несколько событий и более сложные способы объединять их вероятности. Основа остаётся той же: проверить совместимость и влияние событий.

Что запомнить

• Несовместные события не могут произойти одновременно.
• Для несовместных событий вероятности складываются.
• Независимость означает, что одно событие не влияет на вероятность другого.
• Для независимых событий вероятности одновременного наступления перемножаются.
• События могут быть несовместными, но обычно не являются независимыми.
• Перед выбором формулы нужно определить, могут ли события произойти вместе и влияют ли они друг на друга.