"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Частота случайного события показывает, сколько раз оно произошло при повторении опыта, а относительная частота — какую долю всех испытаний составили эти случаи. Эти величины нужны, чтобы обрабатывать результаты наблюдений и сравнивать разные серии опытов. При увеличении числа испытаний относительная частота обычно становится устойчивее и приближается к вероятности события, хотя из-за случайности не обязана совпадать с ней точно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Испытание — отдельное повторение опыта, в котором событие может произойти или не произойти. Например, один бросок монеты — это одно испытание. Это понятие нужно, чтобы точно знать, сколько раз повторяли опыт.
Случайное событие — событие, исход которого нельзя заранее достоверно предсказать в конкретном испытании. Например, при броске монеты выпадение орла является случайным событием. Рассматривая именно такие события, можно изучать закономерности, проявляющиеся в серии опытов.
Частота события — число испытаний, в которых данное событие произошло; её обычно обозначают буквой m. Если из 30 бросков кубика шестёрка выпала 4 раза, частота выпадения шестёрки равна 4. Частота показывает абсолютное количество наступлений события.
Относительная частота события — отношение числа наступлений события к общему числу испытаний: m/n, где n — число всех испытаний. Она показывает, какую долю серии составили успешные для события исходы. Благодаря этому показателю можно сравнивать опыты с разным числом испытаний.
При повторении опыта сначала фиксируют каждый результат, а затем считают, сколько раз произошло нужное событие. Это число и есть частота m. Например, при бросках кубика можно отмечать отдельными значками выпадение шестёрки, а после серии пересчитать значки.
Одной частоты недостаточно для сравнения разных опытов, потому что одинаковое число наступлений может относиться к разному количеству испытаний. Пять выпадений орла в серии из 10 бросков означают совсем другую долю, чем пять выпадений в серии из 100 бросков. Поэтому вычисляют относительную частоту m/n, учитывая весь объём опыта.
Относительная частота не выходит за пределы от 0 до 1, потому что число наступлений m не может быть отрицательным и не может превышать число испытаний n. Значение 0 означает, что событие не произошло ни разу. Значение 1 означает, что событие произошло в каждом испытании; промежуточные значения показывают соответствующую долю случаев.
При увеличении числа испытаний отдельные случайные отклонения меньше влияют на общий результат. Поэтому относительная частота обычно колеблется около некоторого значения и становится более устойчивой в длинной серии. Для монеты она, как правило, приближается к ½, хотя в каждой конкретной серии может быть немного больше или меньше.
Так относительная частота становится экспериментальной оценкой вероятности. Если опыт проводят много раз в одинаковых условиях, а событие имеет постоянную вероятность, наблюдаемая доля его наступлений обычно приближается к этой вероятности. Это не означает полного совпадения в каждой серии: случайность сохраняет небольшие отклонения.
В таблице сначала найдите, о каком количестве или отношении идёт речь. Для вычисления относительной частоты разделите частоту m на общее число испытаний n. При сравнении серий с разным объёмом ориентируйтесь прежде всего на относительные частоты.
| Характеристика | Частота события | Относительная частота события |
|---|---|---|
| Что показывает | Число наступлений события | Долю испытаний, в которых событие произошло |
| Обозначение | m | m/n |
| Формула вычисления | Подсчёт всех наступлений события | m/n |
| Допустимые значения | Целые числа от 0 до n | Числа от 0 до 1 |
| Зависимость от числа испытаний | Может увеличиваться при добавлении испытаний | Обычно становится устойчивее в большой серии |
| Связь с вероятностью | Само по себе не даёт долю событий | При большом числе испытаний приближённо оценивает вероятность |
Монету подбросили 50 раз, орёл выпал 28 раз. Найдём частоту и относительную частоту выпадения орла.
Ответ: частота равна 28, относительная частота равна 0,56, или 56%.
В 80 бросках игрального кубика грань с числом 6 выпала 13 раз. Сравним относительную частоту выпадения шестёрки с её вероятностью.
Ответ: относительная частота равна 0,1625, а вероятность — 1/6 ≈ 0,1667; экспериментальное значение немного меньше.
В двух сериях бросков монеты относительная частота орла составила 0,57 при 100 бросках и 0,51 при 1000 бросках. Определим, какая серия лучше отражает вероятность выпадения орла.
Ответ: серия из 1000 бросков лучше отражает вероятность выпадения орла, потому что её относительная частота ближе к 0,5 и получена на большем числе испытаний.
Частоту иногда называют отношением m/n. Ошибка появляется из-за смешения терминов: частота — абсолютное число наступлений, а отношение — относительная частота. Проверьте, есть ли в ответе единица измерения опыта: если требуется количество случаев, ответ должен быть целым числом.
Некоторые делят число всех испытаний на число наступлений и получают n/m. Так меняется смысл величины, ведь относительная частота показывает долю наступлений в общей серии. Запишите сначала формулу m/n и только потом подставляйте числа.
Нельзя считать, что относительная частота обязана точно совпадать с вероятностью. В небольшой серии случайные отклонения могут быть заметными, поэтому достаточно близкое значение уже является нормальным результатом. Для проверки сравните величины и объясните разницу случайностью.
При сравнении опытов ошибочно смотрят только на количество наступлений события. Серия с большим числом успехов не обязательно имеет большую долю успехов, если в ней намного больше испытаний. Всегда учитывайте и m, и n, а затем сравнивайте отношения m/n.
Для изучения темы нужны понятия случайного события и вероятности, а также умение работать с дробями, отношениями и процентами. Частота связывает теорию вероятностей с практическим наблюдением: по данным эксперимента получают оценку неизвестной вероятности. Позже этот приём используется в статистике, обработке результатов экспериментов и анализе наблюдаемых данных.
Чем частота отличается от относительной частоты?
Частота — это число испытаний, в которых событие произошло. Относительная частота равна отношению этого числа к общему числу испытаний: m/n.
Может ли относительная частота быть больше единицы?
Нет. Число наступлений события не может быть больше общего числа испытаний, поэтому 0 ≤ m/n ≤ 1.
Почему относительная частота не всегда равна вероятности?
Вероятность описывает закономерность случайного события, а относительная частота зависит от конкретной серии опытов. При небольшом числе испытаний случайные отклонения могут быть заметными.
Как увеличить точность экспериментальной оценки вероятности?
Нужно увеличить число испытаний и проводить их в одинаковых условиях. Тогда относительная частота обычно становится устойчивее и ближе к вероятности.
Можно ли по одной серии испытаний точно узнать вероятность события?
Точно узнать вероятность по конечной серии нельзя. По результатам достаточно большого числа испытаний можно лишь получить её приближённую оценку.
14.5. Частота случайных событий
