"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Вероятность показывает, насколько возможно наступление события в случайном опыте. Например, при броске монеты заранее неизвестно, выпадет орёл или решка, но возможные исходы известны. Если все исходы равновозможны, вероятность находят так: число исходов, при которых событие наступает, делят на число всех исходов. Вероятность достоверного события равна 1, невозможного — 0, а любого события лежит между этими числами. Этот способ помогает сравнивать шансы и решать задачи о случайных опытах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные исходы известны. Например, при броске кубика мы не знаем, какое число выпадет, но знаем, что возможны числа от 1 до 6. Это понятие помогает точно описать ситуацию, для которой ищут вероятность.
Случайное событие — результат опыта или группа исходов, которые могут произойти, а могут и не произойти. Например, при броске кубика событие «выпало чётное число» объединяет исходы 2, 4 и 6. Событие задаёт, какие именно результаты нас интересуют.
Равновозможные исходы — исходы опыта, у которых одинаковые шансы произойти. У правильной монеты выпадение орла и решки равновозможно. Это понятие нужно, чтобы применять формулу вероятности через подсчёт исходов.
Вероятность случайного события — число, показывающее, насколько возможно событие. Если исходы равновозможны, вероятность находят, разделив число благоприятных исходов на число всех исходов. Так можно выразить шанс события числом от 0 до 1.
Сначала перечисляют все возможные исходы опыта и проверяют, равны ли их шансы. Это нужно потому, что формула с подсчётом исходов предполагает одинаковую вероятность каждого результата. Например, у правильной монеты два равновозможных исхода: орёл и решка. Если один исход вероятнее другого, простой подсчёт не покажет настоящий шанс.
Затем выделяют исходы, при которых происходит нужное событие. Их называют благоприятными: это не само событие, а отдельные результаты опыта, подходящие под его условие. Например, для события «на кубике выпало больше четырёх» благоприятны исходы 5 и 6. Их количество записывают в числителе дроби вероятности.
Число всех возможных исходов записывают в знаменателе, потому что сравнивают подходящие результаты со всем набором результатов опыта. Поэтому при равновозможных исходах вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Чем больше доля подходящих результатов, тем выше вероятность события. Например, если благоприятны 2 исхода из 6, вероятность равна 2/6.
Достоверное событие обязательно происходит, поэтому благоприятны все исходы: отношение их числа к общему числу равно 1. Невозможное событие не происходит ни при одном исходе, значит, благоприятных исходов нет и вероятность равна 0. Для любого другого события благоприятных исходов не меньше нуля и не больше общего числа. Поэтому вероятность всегда находится между 0 и 1 включительно.
Простое отношение чисел исходов нельзя применять, если исходы не равновозможны или их нельзя корректно перечислить. Иначе в подсчёте каждый результат будет ошибочно считаться одинаково вероятным. Например, если один шар заметно крупнее остальных и его легче достать, все шары могут иметь разные шансы. Сначала нужно убедиться, что условие формулы выполнено.
| Вид события | Что означает | Вероятность |
|---|---|---|
| Достоверное событие | Обязательно происходит при данном опыте | 1 |
| Невозможное событие | Не может произойти при данном опыте | 0 |
| Случайное событие | Может произойти, а может не произойти | От 0 до 1 |
| Границы вероятности | Вероятность не выходит за пределы этого промежутка | 0 ≤ P ≤ 1 |
Сначала определите, обязательно ли событие, невозможно ли оно или его наступление зависит от случайного исхода. Затем найдите соответствующую строку таблицы. Для случайного события с равновозможными исходами вероятность вычисляют по формуле, а границы помогают проверить результат.
Задача 1. При подбрасывании правильной монеты найти вероятность выпадения орла. Правильная монета имеет два равновозможных исхода: орёл и решка. Нужно сравнить число исходов с орлом с общим числом исходов.
Ответ: вероятность выпадения орла равна 1/2.
Задача 2. В коробке лежат 5 красных и 3 синих одинаковых на ощупь шара. Найти вероятность вынуть красный шар. Шары одинаковы на ощупь, поэтому при случайном выборе у каждого одинаковый шанс. Благоприятны все варианты, в которых выбран красный шар.
Ответ: вероятность вынуть красный шар равна 5/8.
Задача 3. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Результат удобно записать упорядоченной парой: сначала число на первом кубике, затем на втором. Всего таких пар 6 · 6 = 36, и для правильных кубиков они равновозможны.
Ответ: вероятность получить сумму 7 равна 1/6.
Иногда за благоприятные исходы принимают сами события, а не отдельные результаты опыта. Тогда числитель считают неверно: например, событие «чётное число» — одно событие, но ему соответствуют три исхода на кубике. Чтобы проверить себя, перечислите конкретные результаты, при которых событие происходит, и посчитайте именно их.
Другая ошибка — не проверять равновозможность исходов и сразу делить одно количество на другое. Такое отношение верно лишь тогда, когда все исходы имеют одинаковые шансы. Причина ошибки часто в том, что варианты выглядят похожими, хотя шансы могут отличаться. Перед вычислением спросите себя, действительно ли каждый исход одинаково вероятен.
При броске двух кубиков пары (2, 5) и (5, 2) иногда считают одним исходом. Но первая пара означает, что на первом кубике выпало 2, а на втором 5; во второй паре наоборот. Поэтому это разные результаты опыта, и оба нужно учитывать. Для самопроверки записывайте исходы как упорядоченные пары.
Вероятность иногда получается больше 1 или меньше 0. Это невозможно, потому что число благоприятных исходов не может быть отрицательным или превышать число всех исходов. Обычно причина — ошибка в подсчёте либо неверно записанная дробь. Проверьте оба числа и убедитесь, что результат находится от 0 до 1 включительно.
Перед изучением вероятности полезно уметь перечислять исходы опыта и считать их количество. Также нужно понимать, в каких случаях исходы равновозможны: без этого нельзя правильно воспользоваться формулой отношения. Эти навыки помогают описывать случайную ситуацию точно, а не угадывать результат.
Вероятность применяют в задачах о монетах, кубиках, выборе предметов и других случайных опытах. Она служит основой для дальнейшего изучения теории вероятностей и статистики. В статистике, в частности, сопоставляют вероятностные ожидания с данными, полученными при наблюдениях.
Что называют случайным опытом?
Это действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные исходы можно назвать. Например, бросок кубика — случайный опыт.
Как понять, какие исходы благоприятны для события?
Благоприятны те исходы, при которых событие происходит. Если событие — выпадение чётного числа на кубике, благоприятными будут исходы 2, 4 и 6.
Почему при подсчёте вероятности важно, чтобы исходы были равновозможны?
Формула вероятности делит число благоприятных исходов на число всех исходов и работает, когда у каждого исхода одинаковый шанс. Если шансы различаются, простое отношение количеств даст неверный результат.
Может ли вероятность события быть равна нулю или единице?
Да. Ноль означает, что событие невозможно, а единица — что оно обязательно произойдёт.
Как считать исходы, если опыт состоит из двух действий?
Нужно описать результат каждого действия и учитывать их сочетания. Для двух кубиков исход записывают упорядоченной парой: результат первого кубика ставят на первое место, второго — на второе.
Вероятность случайного события
