6.3 Классическое определение вероятности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но множество возможных исходов можно перечислить. Например, при бросании монеты заранее неизвестно, выпадет орёл или решка. Это понятие задаёт ситуацию, для которой вообще имеет смысл искать вероятность.

Элементарный исход — один конкретный возможный результат случайного опыта. При бросании кубика элементарными исходами считают выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Такие результаты служат отдельными элементами, из которых составляют события и ведут подсчёт.

Равновозможные исходы — исходы, каждый из которых имеет одинаковую вероятность наступления. У правильной монеты орёл и решка равновозможны, а у правильной игральной кости равны шансы выпадения всех граней. Только при таком условии можно сравнивать исходы простым подсчётом.

Классическая вероятность события — отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов. Для события A используют запись P(A), где P означает вероятность. Если подходящих исходов m, а всего их n, то P(A) = m/n.

Как это устроено

Случайный опыт задаёт конечное множество элементарных исходов, когда все возможные результаты можно перечислить и пересчитать. Например, у монеты это два исхода, а у одного броска кубика — шесть. Конечность нужна потому, что формула использует общее число исходов n и число подходящих среди них.

Формула классической вероятности работает только для равновозможных исходов. Если один результат наступает чаще другого, то два исхода нельзя считать одинаковыми частями общего случая: подсчёт их количества исказит ответ. Поэтому перед вычислением проверяют не только список исходов, но и одинаковость их шансов.

Событие представляют как совокупность элементарных исходов. Например, событие «на кубике выпало чётное число» состоит из исходов 2, 4 и 6. Исходы, при которых событие происходит, называют благоприятствующими ему; остальные исходы для данного события благоприятными не являются.

Пусть всего равновозможных исходов n, а событию A благоприятствуют m из них. Каждый исход занимает одинаковую долю всех возможностей, поэтому m подходящих исходов занимают m таких долей. Отсюда получают формулу P(A) = m/n: сначала считают n, затем m и делят m на n.

Число благоприятствующих исходов не может быть отрицательным и не может превышать их общего числа: 0 ≤ m ≤ n. После деления на положительное n получаем 0 ≤ P(A) ≤ 1. Для невозможного события m = 0, поэтому вероятность равна 0, а для достоверного m = n, поэтому вероятность равна 1.

События и их классическая вероятность

В таблице сначала находят строку, соответствующую событию, а затем сравнивают число подходящих исходов с общим числом. Для обычного случайного события применяют непосредственно формулу m/n. Для противоположного события удобно вычесть вероятность исходного события из 1.

Разбор задач

Задача 1. Монету подбрасывают один раз. Найдите вероятность выпадения орла.

У правильной монеты два равновозможных исхода: орёл и решка. Событию благоприятствует только один из них. Значит, n = 2 и m = 1.

1. Записываем исходы: орёл, решка.
2. Выбираем подходящий исход: орёл, поэтому m = 1.
3. Подставляем числа: P(A) = 1/2.

Ответ: 1/2.

Задача 2. Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, кратное 3.

У кубика шесть равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Из них кратны 3 числа 3 и 6, то есть благоприятных исходов два. Поэтому берём отношение 2 к 6 и сокращаем дробь.

1. Находим общее число исходов: n = 6.
2. Перечисляем подходящие результаты: 3 и 6, значит m = 2.
3. Вычисляем: P(A) = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3.

Задача 3. Две игральные кости бросают одновременно. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

Элементарным исходом является пара чисел: результат первой и результат второй кости. Таких пар 6 · 6 = 36, и они равновозможны. Сумму 8 дают пары (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), поэтому m = 5.

1. Считаем все исходы: n = 36.
2. Перечисляем пары с суммой 8: их пять.
3. Находим вероятность: P(A) = 5/36.

Ответ: 5/36.

Типичные ошибки

В формулу подставляют число подходящих результатов, но забывают разделить его на общее число исходов. Так число благоприятных исходов ошибочно принимают за вероятность. Проверьте себя: в записи обязательно должны присутствовать и m, и n — P(A) = m/n.

Исходы считают равновозможными без проверки. Такая ошибка появляется, когда любой список результатов принимают за готовую модель опыта, хотя разные результаты могут иметь разные шансы. Уточните условия опыта и спросите себя, действительно ли каждый исход занимает одинаковую долю возможностей.

При бросании двух костей считают только суммы и не учитывают разные пары. Например, пары (2; 6) и (6; 2) дают одну сумму, но являются двумя различными исходами. Составьте пары с учётом результата каждой кости и проверьте, получилось ли 36 исходов.

Иногда получают вероятность больше 1 или меньше 0, потому что путают число благоприятных исходов с вероятностью либо ошибаются в подсчёте. Для проверки сравните m и n: должно быть 0 ≤ m ≤ n. Если это не так, пересчитайте исходы и вычисление дроби.

Связь с другими темами

Для классической вероятности нужны навыки работы с дробями, подсчёта вариантов и различения события и противоположного события. Эти умения применяются в задачах о лотереях, играх, случайном выборе и обработке результатов опытов. Классическое определение становится основой для изучения свойств вероятности и более сложных вероятностных моделей.

Что запомнить

• Вероятность рассматривают для случайного события.
• Исходы должны быть конечными и равновозможными.
• Классическая вероятность равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов.
• Формула: P(A) = m/n.
• Вероятность заключена между 0 и 1.
• Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1.