§ 40. Классическое определение вероятности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, но возможные исходы можно перечислить. Например, бросание кубика может завершиться выпадением одного из шести чисел. Это понятие нужно, чтобы точно указать, какие варианты мы будем считать при поиске вероятности.

Элементарный исход — один из возможных результатов случайного опыта. При бросании кубика элементарными исходами считают выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Их перечисление помогает не пропустить варианты и не учесть один результат несколько раз.

Равновозможные исходы — исходы, у которых одинаковые шансы наступить. У честной монеты при одном броске исходы «орёл» и «решка» равновозможны. Это понятие нужно, потому что классическая формула вероятности основана на равных шансах каждого исхода.

Благоприятный исход — исход, при котором рассматриваемое событие происходит. Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Так мы переводим условие задачи в подсчёт: сначала решаем, какие варианты подходят событию, затем сравниваем их количество с общим числом вариантов.

Как это устроено

Сначала нужно задать случайный опыт: например, один раз бросить кубик. Затем перечисляют все элементарные исходы, то есть числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Без полного списка нельзя узнать общее число вариантов и проверить, не пропущен ли подходящий результат. Если описание опыта расплывчатое, то и список исходов может оказаться неверным.

После перечисления проверяют равновозможность исходов. У честного кубика каждый результат выпадает с одинаковым шансом благодаря его устройству; у монеты с грузом шансы орла и решки могут отличаться. Одинаковое оформление списка не делает варианты равновозможными: например, слова «выбрать красный шар» и «выбрать синий шар» не означают равных шансов, если шаров этих цветов в коробке разное количество. Поэтому при проверке учитывают свойства предметов и правила опыта.

Событие описывают условием, которому должен удовлетворять результат, а затем выделяют подходящие исходы из общего списка. Если событие — «на кубике выпало число больше 4», подходят исходы 5 и 6, а числа 1, 2, 3 и 4 не подходят. Множество подходящих результатов и называют множеством благоприятных исходов. Такая проверка условия для каждого варианта помогает не включить лишний исход.

Вероятность вычисляют по формуле P(A) = m/n, где n — число всех равновозможных исходов, а m — число благоприятных исходов для события A. Деление показывает, какую долю от всех одинаково вероятных вариантов составляют подходящие. Например, если подходят 2 исхода из 6, вероятность равна 2/6 = 1/3. Формула применима только тогда, когда список полон, исходов конечное число и они равновозможны.

Благоприятные исходы входят в число всех исходов, поэтому m не может быть больше n и отношение m/n не бывает больше 1. Если событие невозможно, подходящих вариантов нет: m = 0, значит, вероятность равна 0. Если событие достоверное, подходят все исходы: m = n, и вероятность равна 1. Поэтому для любого события выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Классическое определение вероятности

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала назовите событие A и посчитайте все исходы n, затем найдите благоприятные исходы m. После этого подставьте числа в формулу P(A) = m/n и проверьте, что результат находится между 0 и 1.

Разбор задач

Монету подбрасывают один раз. Найдите вероятность выпадения орла.

Нужно определить все возможные результаты броска и выяснить, сколько из них подходит условию. Считаем монету честной: значит, выпадение орла и решки равновозможны. Обозначим событие «выпал орёл» буквой A.

1. Перечислим элементарные исходы: орёл, решка. Всего n = 2 исхода.
2. Событию A благоприятен только исход «орёл», поэтому m = 1.
3. Подставим числа в формулу: P(A) = m/n = 1/2.

Ответ: вероятность выпадения орла равна 1/2. Это значит, что среди двух равновозможных результатов один приводит к событию A. Если монета неравновесная, классическую формулу без дополнительной информации применять нельзя.

Бросают игральный кубик. Найдите вероятность того, что выпадет число, большее 4.

Предполагаем, что кубик обычный и честный, поэтому каждый из шести результатов равновозможен. Условие «больше 4» проверяем для каждого возможного числа, а не заменяем условием «4 или больше». Так мы точно определим, какие исходы нужно посчитать.

1. Запишем все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит, n = 6.
2. Сравним каждое число с 4: подходят 5 и 6. Число 4 не больше 4, поэтому m = 2.
3. Вычислим вероятность: P(A) = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3. В этом опыте два из шести равновозможных исходов удовлетворяют условию. Сокращение дроби не меняет значение вероятности.

Дважды бросают монету. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Здесь важны результаты обоих бросков, поэтому будем записывать их по порядку: сначала результат первого броска, затем второго. Считаем броски независимыми, а монету честной; тогда четыре упорядоченных исхода равновозможны. Событие «ровно один раз орёл» не включает варианты с двумя орлами или двумя решками.

1. Перечислим все пары: орёл–орёл, орёл–решка, решка–орёл, решка–решка. Всего n = 4 исхода.
2. Ровно один орёл выпадает в парах орёл–решка и решка–орёл. Следовательно, m = 2.
3. Найдём вероятность: P(A) = 2/4 = 1/2.

Ответ: 1/2. Пары орёл–решка и решка–орёл — разные упорядоченные исходы, потому что в них различается результат первого броска. Если не учитывать порядок, можно ошибочно потерять один благоприятный вариант.

Типичные ошибки

В знаменатель включают только исходы, связанные с событием. Так делают, когда считают лишь подходящие варианты и забывают, что n — это число всех исходов опыта. Например, для события «число больше 4» на кубике знаменатель равен 6, а не 2. Проверьте себя: полный список должен включать и исходы, при которых событие не происходит.

Благоприятным считают исход, который не удовлетворяет условию. Путаница возникает, когда условие читают приблизительно: число 4 принимают за число, большее 4. Сверяйте каждый вариант с точной формулировкой события. Полезно отдельно записать подходящие исходы и проверить каждый из них подстановкой в условие.

Исходы считают равновозможными только потому, что их удобно перечислить. Список вариантов сам по себе не говорит об их шансах; они могут зависеть от устройства предметов или опыта. Например, выбор шара одного из двух цветов не означает равных шансов, если в коробке шаров разное количество. Проверьте, почему вероятности исходов должны быть одинаковыми, и не применяйте классическую формулу без этого основания.

При последовательных действиях не различают порядок исходов. Тогда варианты могут пропасть или один и тот же результат будет учтён несколько раз. При двух бросках монеты записывайте результат каждого броска на своём месте: орёл–решка и решка–орёл различаются. Перед подсчётом проверьте, что список охватывает все упорядоченные варианты ровно по одному разу.

Связь с другими темами

Для решения задач на вероятность полезно уметь перечислять варианты и находить их количество. Эти умения встречаются при составлении списков, таблиц и схем возможных результатов. Чем аккуратнее устроен такой список, тем легче увидеть пропуски и избежать повторного подсчёта.

Классическое определение применяют в задачах о случайном выборе, бросании монет и кубиков. Когда исходов становится много, способы их подсчёта связывают с комбинаторикой. Вероятность также помогает описывать случайные явления в статистике, где наблюдают результаты опытов и анализируют данные.

Что запомнить

• Классическое определение применяют, когда исходов конечное число и они равновозможны.
• P(A) = m/n: m — число благоприятных исходов, n — число всех исходов.
• Число благоприятных исходов не может быть больше числа всех исходов.
• Вероятность невозможного события равна 0.
• Вероятность достоверного события равна 1.
• Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1.