"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Частота и вероятность помогают описывать случайные явления и оценивать, насколько часто может происходить событие. Частота показывает число его наступлений в проведённой серии опытов, а относительная частота — долю таких опытов среди всех. Вероятность характеризует событие в заданных условиях и не зависит от конкретной серии. При большом числе повторений относительная частота обычно приближается к вероятности, поэтому наблюдения помогают оценивать её.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее нельзя точно предсказать. Например, при броске монеты неизвестно, какой стороной она упадёт. Это понятие задаёт условия, в которых мы изучаем возможные результаты.
Случайное событие — событие, которое при данном опыте может произойти, а может и не произойти. Например, при броске кубика событие «выпало число 6» случайное. Оно помогает точно сформулировать, какой именно результат нас интересует.
Частота события — число опытов, в которых событие произошло; её обозначают буквой m. Если орёл выпал в 7 бросках, частота выпадения орла равна 7. Частота показывает количество наступлений события, но сама по себе не говорит, сколько всего было опытов.
Относительная частота события — отношение его частоты к общему числу проведённых опытов: m/n, где n — число опытов. Если орёл выпал 7 раз из 10, относительная частота равна 7/10. Она показывает долю опытов с этим результатом и позволяет сравнивать серии разного размера.
Одни и те же условия опыта позволяют различить достоверные, невозможные и случайные события. При броске обычного кубика событие «выпало число от 1 до 6» достоверное: другой результат невозможен. Событие «выпало 7» невозможно, а «выпало чётное число» случайно, потому что подходящие и неподходящие результаты возможны. Сравнение в рамках одного опыта показывает, что названия зависят от того, может ли событие произойти.
Чтобы найти частоту, сначала проводят серию опытов и считают, сколько раз произошло выбранное событие; это число и есть m. Затем для относительной частоты делят m на общее число опытов n. Например, если событие произошло 12 раз в 30 опытах, частота равна 12, а относительная частота — 12/30 = 0,4. Такое вычисление переводит простой счёт в долю от всей серии.
Относительная частота зависит от результатов конкретной серии, поэтому при повторении опытов она может измениться. Даже если условия одинаковы, случайность не гарантирует, что в каждой серии орёл выпадет ровно половину раз. В короткой серии несколько удачных или неудачных результатов заметно меняют долю. При увеличении числа опытов отдельные отклонения обычно влияют на общую долю слабее.
Вероятность — число, которое описывает событие в заданных условиях; относительная частота при большом числе повторений обычно колеблется около этого числа. Это не означает, что результат очередного опыта можно предсказать точно: вероятность относится к событию в целом, а не обещает определённый исход в каждой серии. Например, вероятность орла у симметричной монеты равна 1/2, но в десяти бросках орёл не обязан появиться ровно пять раз. Большое число повторений делает оценку по частоте надёжнее, но не устраняет случайные отклонения полностью.
Если теоретическую вероятность вычислить трудно, её оценивают по наблюдениям. Для этого многократно проводят опыт в одинаковых условиях и находят относительную частоту события. Чем больше опытов, тем полезнее такая оценка: отдельные случайные колебания меньше сказываются на общей доле. Так можно, например, оценить долю бракованных изделий по результатам проверки партии.
| Характеристика | Частота | Относительная частота | Вероятность |
|---|---|---|---|
| Что показывает | Число наступлений события | Долю опытов, в которых событие произошло | Меру возможности события в заданных условиях |
| Как вычисляется или определяется | Подсчитывают наступления; обозначают m | m/n, где n — число всех опытов | Вычисляют по модели или оценивают по наблюдениям |
| Зависимость от результатов конкретной серии опытов | Напрямую зависит от результатов серии | Зависит от результатов серии и её размера | Не меняется из-за исходов отдельной серии при неизменных условиях |
| Возможные значения | Целое число от 0 до n | Число от 0 до 1 | Число от 0 до 1 |
| Использование при оценке события | Показывает, сколько раз событие произошло | Даёт оценку вероятности по серии опытов | Характеризует событие в заданных условиях |
Сначала определите, какое именно событие изучается и сколько всего было опытов. Частота отвечает на вопрос «сколько раз?», а относительная частота — «какую долю?». Вероятность можно сравнить с относительной частотой, но не следует считать их обязательно равными в каждой серии.
Задача 1. При 40 бросках монеты орёл выпал 22 раза. Найдём частоту и относительную частоту выпадения орла. Частота — это число наступлений, а для относительной частоты нужно учесть все 40 бросков.
Ответ: частота равна 22, относительная частота — 0,55, или 55%. Это результат именно данной серии, а не обещание, что в любой серии орёл выпадет в 55% случаев.
Задача 2. В 200 проверенных деталях обнаружили 6 бракованных. Требуется оценить вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной. Поскольку выборка даёт наблюдения, воспользуемся относительной частотой брака.
Ответ: приближённая оценка вероятности — 0,03, или 3%. Это оценка по проверенным деталям; в другой партии доля брака может немного отличаться.
Задача 3. В мешке 5 красных и 3 синих одинаковых по размеру шара. Найдём вероятность вынуть красный шар и объясним, почему серия вытаскиваний может дать другую долю красных шаров. Всего шаров 5 + 3 = 8, а каждый из них имеет одинаковый шанс быть выбранным.
Ответ: вероятность вынуть красный шар равна 5/8, или 0,625. Относительная частота красных шаров в серии не обязана точно равняться этому значению, но при большом числе повторений обычно приближается к нему.
Частоту путают с относительной частотой: первая является числом наступлений, вторая — отношением этого числа к числу опытов. Путаница возникает потому, что обе величины описывают одно событие. Проверьте единицы смысла: частота — это «раз», а относительная частота — доля или процент.
Иногда относительную частоту считают всегда точно равной вероятности. Но она получена из конкретной серии и может отклоняться от вероятности, особенно при небольшом числе опытов. Для проверки сравните формулировки: наблюдаемая доля относится к серии, а вероятность — к событию в заданных условиях.
При вычислении относительной частоты могут разделить общее число опытов на число наступлений события. Это происходит из-за неверного порядка чисел в отношении. Формула m/n помогает проверить запись: частоту делят на общее число, а ответ должен быть от 0 до 1.
Ещё одна ошибка — думать, что вероятность меняется после каждого результата. В неизменных условиях результат отдельного опыта не меняет вероятность события, хотя он меняет частоту и относительную частоту текущей серии. Чтобы проверить себя, отделите условия опыта от уже полученных результатов: если условия прежние, вероятность остаётся прежней.
Для вычисления относительной частоты нужно уметь находить отношение чисел и записывать его десятичной дробью или процентом. Например, отношение 6 к 200 равно 0,03, то есть 3%. Эти навыки позволяют переходить от подсчёта к удобной для сравнения доле.
Тема опирается на представление о случайном опыте и его возможных исходах. Чтобы определить вероятность при равновозможных исходах, нужно знать, сколько исходов подходит событию и сколько исходов всего. Поэтому сначала важно точно описать условия опыта.
Оценка вероятности по наблюдениям пригодится при изучении статистики и анализе случайных явлений. По данным проверок можно оценить долю брака, а по наблюдениям — частоту разных результатов. Чем больше и точнее собраны данные, тем полезнее полученная оценка.
Чем частота события отличается от относительной частоты?
Частота — это число опытов, в которых событие произошло. Относительная частота — это частота, делённая на общее число опытов, то есть доля удачных опытов.
Почему относительная частота может не совпадать с вероятностью?
Она вычисляется по результатам конкретной серии, а случайные результаты могут отклоняться от ожидаемых. Особенно заметно такое отличие в небольшой серии опытов.
Как по результатам опытов оценить вероятность события?
Нужно провести много одинаковых опытов, посчитать частоту события и разделить её на число всех опытов. Полученную относительную частоту используют как приближённую оценку вероятности.
Может ли вероятность случайного события быть равна нулю или единице?
У случайного события вероятность в обычной модели находится между 0 и 1. Значение 0 соответствует невозможному событию, а 1 — достоверному.
Почему для оценки вероятности проводят много опытов?
В небольшой серии случайные отклонения могут сильно повлиять на относительную частоту. При большом числе повторений она обычно становится устойчивее и ближе к вероятности.
§ 39. Частота и вероятность случайного события
