"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Бином Ньютона позволяет быстро раскрывать скобки в выражении (a + b)ⁿ, даже если степень велика. Коэффициенты разложения можно найти в треугольнике Паскаля: по краям каждой строки стоят единицы, а остальные числа получаются сложением соседних чисел сверху. В каждом слагаемом степень a убывает, степень b возрастает, а их сумма равна n. Это помогает не только записывать разложение целиком, но и находить нужный коэффициент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бином — двучлен вида a + b, то есть сумма двух выражений. В этой теме рассматривают, что происходит, когда такой двучлен умножают сам на себя несколько раз. Например, (a + b)³ — третья степень бинома. Понятие нужно, чтобы коротко называть выражения, для которых изучают специальное правило раскрытия скобок.
Бином Ньютона — формула разложения (a + b)ⁿ в сумму одночленов для натурального n. Одночлен — произведение чисел и переменных, например 3a²b. Формула показывает, как записать результат возведения бинома в степень, не перемножая скобки одну за другой. Это особенно удобно при больших степенях.
Биномиальные коэффициенты — числа перед одночленами в разложении степени бинома. Коэффициент при aⁿ⁻ᵏbᵏ обозначают Cₙᵏ: n показывает степень бинома, а k — число множителей b в слагаемом. Например, C₃² = 3 — коэффициент при a b² в разложении (a + b)³. По этим коэффициентам можно быстро составить разложение.
Треугольник Паскаля — таблица, строки которой состоят из биномиальных коэффициентов. Первую строку считают строкой 0; в ней стоит число 1, а по краям каждой следующей строки также стоят единицы. Каждое внутреннее число получают сложением двух чисел над ним. Таблица помогает находить коэффициенты разложения, не вычисляя их отдельно.
Представим степень (a + b)ⁿ как произведение n одинаковых скобок: (a + b)(a + b)…(a + b). Чтобы получить один одночлен, нужно выбрать по одному слагаемому из каждой скобки — либо a, либо b. Если из k скобок выбрано b, то из остальных n − k выбрано a, поэтому получается aⁿ⁻ᵏbᵏ. Отсюда сумма показателей a и b в каждом слагаемом равна n: каждое из n мест даёт ровно один множитель.
Один и тот же одночлен может получиться разными способами: например, b можно выбрать из разных скобок. Число таких способов и есть биномиальный коэффициент Cₙᵏ. Индекс k указывает, сколько раз выбрано b, а n — общее число скобок. Поэтому коэффициент при aⁿ⁻ᵏbᵏ равен Cₙᵏ, а не просто единице.
Собрав одночлены для всех возможных значений k, получаем формулу бинома Ньютона: (a + b)ⁿ = Σ от k = 0 до n Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Здесь k последовательно принимает значения 0, 1, 2 и так далее до n: сначала b нет, затем его степень растёт. При k = 0 получаем крайнее слагаемое aⁿ, а при k = n — bⁿ; оба крайних коэффициента равны 1. Всего значений k — n + 1, значит, столько же слагаемых.
Коэффициенты для небольших степеней удобно выстраивать в треугольник Паскаля. Начинают с 1; следующая строка — 1, 1. В каждой новой строке ставят единицы по краям, а внутренние числа получают сложением пары соседей предыдущей строки. Например, после строки 1, 3, 3, 1 получится 1, 4, 6, 4, 1: число 6 — это сумма 3 и 3.
Чтобы разложить (a + b)ⁿ, берут строку n и записывают её числа по порядку перед слагаемыми. Одновременно показатель a уменьшают от n до 0, а показатель b увеличивают от 0 до n. Проверка проста: должно быть n + 1 слагаемое, а сумма показателей в каждом равна n. Если вместо b стоит выражение, его нужно возводить в степень, указанную при b.
| Степень n | Коэффициенты строки Паскаля | Разложение (a + b)ⁿ |
|---|---|---|
| n = 0 | 1 | 1 |
| n = 1 | 1, 1 | a + b |
| n = 2 | 1, 2, 1 | a² + 2ab + b² |
| n = 3 | 1, 3, 3, 1 | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| n = 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ |
| Общее правило получения следующей строки | 1; суммы соседних чисел предыдущей строки; 1 | Показатель a убывает от n до 0, показатель b растёт от 0 до n |
Найдите в первом столбце нужную степень и возьмите коэффициенты из той же строки. Затем подставьте свои выражения вместо a и b, сохраняя порядок степеней. В последней строке показано, как продолжать таблицу: крайние числа — единицы, между ними складывают соседние числа сверху.
Степень равна 3, поэтому нужны четыре коэффициента из строки 3: 1, 3, 3, 1. В разложении показатель x должен уменьшаться от 3 до 0, а показатель второго слагаемого — увеличиваться от 0 до 3. Подставим a = x и b = 2 в формулу, не забывая возводить 2 в нужные степени.
Ответ: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
Берём строку 4: 1, 4, 6, 4, 1. Второе слагаемое здесь отрицательное, поэтому его можно считать как −b; при возведении в степень знак зависит от показателя этого множителя. Сначала применим формулу к (2a + (−b))⁴, а затем аккуратно вычислим степени 2a и −b.
Ответ: (2a − b)⁴ = 16a⁴ − 32a³b + 24a²b² − 8ab³ + b⁴.
Нужно найти только слагаемое с x³y⁵, поэтому всё разложение выписывать не требуется. Степень y равна 5, значит, b = 2y выбирают из пяти скобок; тогда x берут из оставшихся трёх. Проверяем, что показатели складываются в 8, и используем коэффициент C₈⁵ = 56.
Ответ: коэффициент при x³y⁵ равен 1792.
При записи степеней иногда переставляют показатели: делают степень a возрастающей, а b — убывающей. Так происходит, если смотреть только на отдельные слагаемые и не следить за тем, сколько раз выбран каждый множитель. Проверьте крайние члены: первым должно быть aⁿ, последним — bⁿ, а сумма показателей в каждом члене равна n.
Можно пропустить биномиальный коэффициент или взять числа не из той строки. Ошибка возникает, когда номер строки считают от 1, хотя верхняя строка с числом 1 имеет номер 0. Сверьте номер строки со степенью бинома и убедитесь, что в строке n ровно n + 1 число.
При разложении (a − b)ⁿ иногда ставят минусы во всех слагаемых или вовсе их забывают. Причина в том, что знак относится к множителю −b и зависит от того, в какую степень он возведён. Запишите −b в каждом слагаемом: чётная степень даёт плюс, нечётная — минус.
Ещё одна ошибка — неверно вычислить числовой множитель, например забыть, что 2⁵ = 32. Это случается, если подставить число вместо b, но не возвести его в степень, которая стоит у b. Перед ответом отдельно проверьте степень числа, затем умножьте её на коэффициент из строки Паскаля.
Для работы с формулой нужно уметь раскрывать скобки и возводить двучлен в небольшую натуральную степень: это помогает понять, откуда берутся слагаемые и коэффициенты. Бином Ньютона расширяет этот способ и позволяет справляться с большими степенями или находить только нужный член разложения. Биномиальные коэффициенты связаны с сочетаниями — способами выбрать несколько объектов из набора; поэтому они встречаются в комбинаторике и теории вероятностей.
Как определить, какую строку треугольника Паскаля использовать?
Нужна строка с номером, равным степени бинома. Верхнюю строку с единственным числом 1 считают строкой 0.
Почему в разложении степени n получается n + 1 слагаемое?
Возможны все варианты: b не выбрано ни разу, выбрано один раз и так далее, вплоть до выбора из всех n скобок. Всего таких вариантов n + 1.
Как найти коэффициент при заданной степени переменной, не выписывая всё разложение?
Найдите, какие степени переменных должны стоять в одном слагаемом, и определите число k — количество выбранных множителей b. Возьмите коэффициент Cₙᵏ и умножьте его на числовые множители, возведённые в нужные степени.
Как меняются знаки при разложении (a − b)ⁿ?
Каждое слагаемое содержит множитель (−b)ᵏ. Поэтому знак определяется числом k: при чётном k он положительный, при нечётном — отрицательный.
Как проверить, что разложение бинома записано правильно?
Проверьте, что слагаемых n + 1, а коэффициенты взяты из строки n треугольника Паскаля. Степень первого множителя должна уменьшаться от n до 0, второго — увеличиваться от 0 до n; сумма показателей в каждом слагаемом равна n.
§ 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля
