§ 18. Частота и вероятность случайного события

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее нельзя точно предсказать. Например, бросок монеты — опыт: до броска неизвестно, выпадет герб или решка. Понятие опыта помогает точно обозначить, какое действие повторяют и результаты которого сравнивают.

Случайное событие — результат случайного опыта или набор его исходов. Событие считается произошедшим, если полученный результат подходит под его условие: например, при броске кубика событие «выпало чётное число» наступает при 2, 4 или 6. Название события позволяет следить за конкретным свойством результата.

Частота события — отношение числа опытов, в которых событие произошло, к общему числу проведённых опытов. Если событие случилось 7 раз из 20, его частота равна 7/20. Она показывает долю успешных испытаний в уже полученных результатах.

Вероятность события — числовая характеристика возможности его наступления, лежащая от 0 до 1 включительно. Чем ближе значение к 1, тем событие ожидаемее, а чем ближе к 0 — тем менее вероятно. Вероятность нужна, чтобы оценивать события до проведения конкретной серии опытов.

Как это устроено

Чтобы найти частоту, один и тот же опыт проводят несколько раз и каждый раз отмечают, произошло ли интересующее событие. Затем число его наступлений делят на общее число испытаний. Например, если при 30 бросках монеты герб выпал 16 раз, частота равна 16/30. Такое отношение удобно тем, что учитывает и число успехов, и размер всей серии.

Частота зависит от результатов конкретной серии, потому что случайный опыт не обязан давать одинаковую долю событий при каждом повторении. В одной серии из десяти бросков герб может выпасть шесть раз, а в другой — четыре. При этом условия опыта не изменились: различаются только случайно полученные результаты. Поэтому частота описывает именно проведённые испытания, а не все возможные будущие результаты.

Вероятность выражает закономерность, заметную при многократном повторении одинакового опыта. Если испытаний становится много, отдельные отклонения обычно слабее влияют на общую долю наступлений события, и частота стремится к устойчивому значению. Это значение и рассматривают как вероятность события. Речь идёт о тенденции: для небольшой серии частота может заметно отличаться от вероятности, а точного равенства заранее обещать нельзя.

Для конечного числа равновозможных исходов вероятность можно вычислить без проведения серии испытаний. Сначала считают все возможные исходы, затем — те, при которых событие произойдёт; последние называют благоприятными. Поскольку каждый исход имеет одинаковый шанс, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов: P(A) = m/n, где m — число подходящих исходов, а n — общее число исходов. Формула работает только при равновозможности исходов.

Границы от 0 до 1 отражают смысл вероятности как меры возможности. Если событие не может произойти, благоприятных исходов нет и вероятность равна 0; если оно происходит при любом исходе, вероятность равна 1. Между этими границами располагаются остальные значения. Чем больше вероятность, тем событие ожидаемее, но даже высокая вероятность не делает его наступление абсолютно гарантированным.

Частота и вероятность события

Сравнивайте характеристики по строкам: частота относится к результатам уже проведённой серии, а вероятность — к ожидаемости события при заданных условиях. Обозначения частоты могут различаться, а вероятность события обычно записывают как P(A). Значение частоты вычисляют по данным опытов; классическую вероятность находят по равновозможным исходам.

Если известны результаты серии испытаний, пользуйтесь столбцом «Частота». Если нужно заранее оценить событие и исходы равновозможны, применяйте формулу из столбца «Вероятность».

Разбор задач

Частота выпадения герба

Монету подбросили 40 раз, герб выпал 23 раза. Найдите частоту выпадения герба. Здесь уже дана готовая серия опытов, поэтому нужно использовать не формулу классической вероятности, а долю фактических выпадений герба.

1. Определим число наступлений события: герб выпал 23 раза.
2. Общее число опытов равно 40, значит, частота составляет 23/40.
3. Вычислим отношение: 23/40 = 0,575, или 57,5%.

Ответ: частота выпадения герба равна 23/40, то есть 0,575 (57,5%). Это значение описывает именно проведённые 40 бросков.

Число, кратное 3, на кубике

Игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа, кратного 3. У обычного кубика шесть равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Чтобы применить классическую формулу, перечислим исходы, которые подходят под условие.

1. Все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6; всего их 6.
2. Кратные 3 среди них — 3 и 6, значит, благоприятных исхода 2.
3. По формуле P(A) = число благоприятных исходов / число всех исходов получаем 2/6 = 1/3.

Ответ: вероятность равна 1/3. Она найдена по равновозможным исходам, а не по результатам серии бросков.

Достать шар, который не синий

В коробке 5 красных и 3 синих одинаковых на ощупь шара. Наугад достают один шар. Найдите вероятность достать не синий шар и объясните, почему частота такого события в серии опытов может отличаться от найденного значения. Исходами считаем выбор каждого отдельного шара: у всех шаров одинаковый шанс быть выбранными.

1. Всего шаров 5 + 3 = 8, поэтому всего равновозможных исходов 8.
2. Событию «не синий» соответствуют красные шары; благоприятных исходов 5.
3. Находим вероятность: P(A) = 5/8 = 0,625, или 62,5%.
4. В серии повторных опытов считают фактическое число доставаний красного шара и делят его на число опытов. Полученная частота может быть, например, выше или ниже 5/8 из-за случайных результатов, особенно если опытов мало.

Ответ: вероятность достать не синий шар равна 5/8. Частота характеризует конкретную серию, а вероятность — ожидаемую долю при многократных повторениях.

Типичные ошибки

Путать частоту с вероятностью. Частота вычислена по уже проведённым опытам, а вероятность оценивает ожидаемость события; их путают, потому что обе величины записывают числами от 0 до 1. Проверьте себя вопросом: использовали ли вы реальные результаты серии или условия опыта?

Не делить число благоприятных исходов на число всех исходов. Одного подсчёта подходящих случаев недостаточно: вероятность показывает их долю среди всех возможностей. После подсчёта проверьте, записано ли отношение m/n, а не только m.

Применять классическую формулу без проверки равновозможности. Формула m/n подходит, только если каждый исход имеет одинаковый шанс; иначе простое отношение может дать неверный результат. Перед вычислением объясните, почему исходы равновозможны, например из-за симметрии кубика.

Считать, что частота обязательно равна вероятности в небольшой серии. Такое ожидание возникает из идеи приближения, но приближение не означает точного совпадения в каждом опыте. Сверьте, не подменили ли вы фактические результаты теоретическим значением: при малом числе испытаний отклонение нормально.

Связь с другими темами

Для вычисления частоты и вероятности нужно уметь находить отношение чисел, работать с дробями и переводить дробь в процент. Полезно также перечислять исходы простого опыта и отмечать среди них благоприятные событию. Эти навыки соединяют арифметические вычисления с рассуждением о случайных результатах. Позже они пригодятся в статистике, комбинаторике и задачах на случайный выбор.

Что запомнить

• Частота события равна отношению числа его наступлений к числу проведённых опытов.
• Частота зависит от результатов конкретной серии испытаний.
• При большом числе повторений частота обычно приближается к вероятности.
• Для равновозможных исходов вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• Вероятность события находится между 0 и 1 включительно.
• Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1.