§ 19. Классическое определение вероятности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, но множество возможных результатов можно описать. Например, при бросании кости нельзя заранее знать число очков, хотя возможные результаты известны. Это понятие позволяет отделить случайные ситуации от тех, где результат заранее определён. Чтобы рассуждать о шансах, сначала нужно описать, что именно может произойти.

Элементарный исход — один отдельный возможный результат случайного опыта. Исходы должны быть попарно различными: дважды записанный одинаковый результат не создаёт нового варианта. При бросании кости элементарные исходы — выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Такое описание нужно, чтобы правильно сосчитать все варианты и не изменить их число случайным повтором.

Равновозможные исходы — исходы, у которых одинаковая возможность наступления. Например, у правильной симметричной кости выпадение каждого из шести чисел равновозможно. Классическое определение используют именно тогда, когда исходов конечное число и они равновозможны. Если какие-то исходы вероятнее других, простое сравнение их количеств не даст верного ответа.

Вероятность события — отношение числа исходов, благоприятных этому событию, к общему числу равновозможных исходов. Если событию A благоприятствуют m исходов из n, записывают P(A) = m/n. Число m показывает, сколько результатов подходят под условие задачи, а n — сколько результатов всего. Эта запись превращает подсчёт вариантов в численную оценку шанса события.

Как это устроено

Сначала случайный опыт описывают конечным списком элементарных исходов. В списке каждый возможный результат должен встретиться ровно один раз: пропуск уменьшит общее число, а повтор увеличит его. Поэтому полезно проверить, что любой результат опыта попал в список и что одинаковые результаты не записаны под разными названиями. Только после такой проверки число всех исходов n имеет смысл.

Для классического определения необходимо равенство шансов исходов. Тогда каждый отдельный исход вносит одинаковый вклад в вероятность, и событие с большим числом подходящих исходов действительно встречается чаще. Если равновозможность нарушена, подсчёт вариантов не учитывает различия в шансах: например, исход с вероятностью ½ нельзя считать наравне с исходом с вероятностью ⅙. Значит, прежде чем делить числа, нужно обосновать равновозможность условиями опыта.

Затем рассматривают событие — условие, которое может выполниться или не выполниться. Для каждого элементарного исхода проверяют, приводит ли он к событию; подходящие исходы называют благоприятными. Их число обозначают m, а общее число исходов — n. Такой разбор особенно важен, если условие сформулировано словами: сначала переводим его в перечень конкретных результатов, а потом считаем.

Вероятность вычисляют как P(A) = m/n, потому что среди n одинаково возможных результатов событие реализуется в m случаях. Доля таких случаев и выражает шанс события в рамках этого опыта. Поскольку m не может быть меньше нуля и не может превышать n, отношение m/n всегда находится между 0 и 1 включительно. Значение ближе к 1 означает более вероятное событие, а ближе к 0 — менее вероятное.

Если благоприятных исходов нет, событие невозможно; если благоприятны все исходы, событие достоверно. Для события, противоположного A, подходят все исходы, не подходящие A, поэтому его вероятность равна 1 − P(A). Это следует из того, что A и противоположное ему событие вместе охватывают все исходы и не могут произойти одновременно. Такой способ часто удобнее, когда проще посчитать, как событие не происходит.

Классическая вероятность и особые случаи

Сначала найдите строку, которая описывает событие, затем подставьте известные значения m и n. Для противоположного события число благоприятных исходов равно общему числу исходов минус число исходов события A. Таблица помогает проверить результат: вероятность не должна выходить за границы от 0 до 1.

Разбор задач

Задача 1. Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность выпадения чётного числа очков. Рассматриваем правильную кость, у которой все шесть исходов равновозможны. Требуется событие A — выпадение чётного числа.

1. Перечисляем исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, поэтому n = 6.
2. Выделяем подходящие числа: 2, 4, 6, значит, m = 3.
3. Применяем формулу: P(A) = m/n = 3/6 = 1/2.

Ответ: 1/2. Мы перечислили весь набор результатов, а не только чётные числа, потому что в знаменателе должна стоять общая численность исходов.

Задача 2. Две игральные кости бросают одновременно. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат задаётся числом на первой и числом на второй кости, поэтому исходы записываем упорядоченными парами. Кости считаем правильными, а все 36 пар — равновозможными.

1. У первой кости 6 вариантов, и для каждого есть 6 вариантов второй, поэтому n = 6 · 6 = 36.
2. Перечисляем пары с суммой 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Получаем m = 5.
3. Вычисляем вероятность: P(A) = 5/36.

Ответ: 5/36. Нельзя считать исходами только суммы от 2 до 12: суммы возникают с разной частотой, а отдельные пары результатов равновозможны.

Задача 3. В коробке 5 красных и 3 синих одинаковых на ощупь шара. Наугад вынимают два шара без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара красные. Здесь удобно считать не порядок извлечения, а пары шаров: каждая пара имеет одинаковый шанс быть выбранной. Всего шаров 8.

1. Число способов выбрать любые два шара из восьми равно C(8, 2) = 28.
2. Благоприятные варианты — пары из пяти красных шаров: C(5, 2) = 10.
3. Делим количество благоприятных сочетаний на общее: P(A) = 10/28 = 5/14.

Ответ: 5/14. Важно использовать один и тот же способ учёта для всех вариантов: здесь в обоих подсчётах пары неупорядоченные.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать равновозможными любые исходы. Её допускают, когда принимают сам список вариантов за доказательство равенства шансов. Проверьте, следует ли равновозможность из устройства опыта; если нет, классическая формула неприменима. Например, разные суммы при бросании двух костей не равновозможны, хотя каждая из них является возможным результатом.

Вторая ошибка — перечислить исходы неполно или повторить один из них. Тогда неверно меняется n, а вместе с ним и итоговая дробь. Причина часто в том, что список составляют без системы. Проверьте его по возможным значениям каждого действия и убедитесь, что каждый элементарный исход записан один раз.

Третья ошибка возникает при нескольких действиях: иногда порядок различают для одних исходов, но не для других. Это приводит к несогласованному подсчёту, например если благоприятные варианты считаются упорядоченными, а общее число — нет. Выберите, различаете ли вы порядок, и применяйте этот способ ко всем исходам. Сверьте знаменатель с тем, как именно составлено число m.

Четвёртая ошибка — принять число благоприятных исходов m за вероятность. Само по себе m может быть больше 1, но вероятностью является только отношение m/n. Ошибка возникает, если забыть разделить на общее число исходов. Для проверки найдите долю и убедитесь, что она находится от 0 до 1 включительно.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно уметь перечислять варианты и считать элементы конечных множеств. При нескольких действиях важно различать упорядоченные результаты и неупорядоченные: например, результаты двух костей обычно записывают парами, а выбор пары шаров можно считать без учёта порядка. Это помогает выбрать правильный способ подсчёта исходов.

Вероятность записывается дробью m/n, поэтому для неё нужны знания об отношениях, дробях и их сравнении. Классическое определение применяется к ситуациям со случайным выбором, бросанием костей и монет. Подсчёт исходов также связывает тему с комбинаторными методами и даёт основу для последующего изучения статистики.

Что запомнить

• Классическое определение применяют к конечному набору равновозможных элементарных исходов.
• Если всего n исходов, а событию A благоприятствуют m, то P(A) = m/n.
• Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Вероятность невозможного события равна 0.
• Вероятность достоверного события равна 1.
• Вероятность противоположного события равна 1 − P(A).