§ 20. Начальные сведения о статистике

Определения и обозначения

Статистический ряд — упорядоченный список значений исследуемого признака, полученных при наблюдениях. Например, если измерили время выполнения задания у нескольких учеников, в ряд записывают все результаты от меньшего к большему. Повторяющиеся значения не удаляют: каждое из них отражает отдельное наблюдение. Такой список помогает увидеть состав данных и подготовить их к сравнению.

Размах ряда — разность между наибольшим и наименьшим значениями: R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ. Он показывает расстояние между крайними результатами, то есть ширину разброса данных. По размаху можно быстро оценить, насколько далеко друг от друга оказались минимум и максимум. Однако он не сообщает, много ли значений сосредоточено около середины.

Среднее арифметическое ряда — сумма всех его значений, делённая на количество значений. Если результаты сложить и мысленно распределить полученную сумму поровну между наблюдениями, каждое получившееся число будет средним арифметическим. Эта характеристика помогает кратко описать общий уровень данных. При этом она может не совпадать ни с одним из исходных значений.

Мода — значение, встречающееся чаще других, а медиана — центральное значение упорядоченного ряда или среднее двух центральных значений. Мода показывает, какой результат повторялся чаще всего. Медиана делит упорядоченные данные так, чтобы с каждой стороны от неё находилась примерно половина значений. Эти показатели отвечают на разные вопросы, поэтому их полезно различать.

Как это устроено

Сначала результаты наблюдений располагают по возрастанию или убыванию, чтобы сравнивать их было проще. Если некоторые значения повторяются, их оставляют в списке: удаление повторов изменило бы количество наблюдений и исказило бы картину частот. Например, ряд 3, 3, 5 содержит два наблюдения со значением 3, а не просто два разных результата. Упорядоченный ряд позволяет надёжно находить крайние и центральные значения.

Чтобы найти размах, от максимума вычитают минимум: именно разность показывает расстояние между крайними точками ряда. Если максимум равен 18, а минимум равен 7, размах составляет 11. Направление вычитания важно: результат должен быть неотрицательным, поскольку максимум не меньше минимума. Размах показывает только ширину промежутка и ничего не говорит о том, как значения распределились внутри него: ряды 1, 2, 10 и 1, 5, 10 имеют одинаковый размах.

Для среднего арифметического складывают все значения и делят сумму на их количество. Делить нужно именно на число наблюдений, а не на число различных значений: каждое измерение участвует в общей сумме. Среднее можно понимать как равную долю общей суммы, если распределить её между всеми наблюдениями. Одно очень большое или маленькое значение способно заметно изменить сумму, а значит, и среднее; поэтому при наличии крайних результатов среднее может плохо отражать обычный уровень.

Моду находят, подсчитывая, сколько раз встречается каждое значение, и выбирая значение с наибольшей частотой. Если чаще других встречаются сразу два значения, обе величины являются модами. Если частоты всех значений одинаковы, наиболее частого значения нет, и мода отсутствует. Так происходит потому, что определение моды основано на сравнении частот, а не на положении числа в ряду.

Медиану находят только после упорядочивания: тогда середина ряда действительно соответствует середине по величине, а не случайному месту в записи. При нечётном количестве значений посередине стоит одно число, и оно становится медианой. При чётном количестве центральных чисел два, поэтому за медиану принимают их среднее арифметическое. Так ряд разделяется на две части с одинаковым количеством наблюдений или максимально близким к одинаковому.

Основные характеристики статистического ряда

Пользуйтесь таблицей, выбирая характеристику в зависимости от вопроса: нужен разброс, общий уровень, частый результат или середина ряда. Среднее и медиана описывают центр данных разными способами, а мода — частоту. Для полного представления о наборе результатов иногда полезно вычислить несколько характеристик сразу.

Разбор задач

Задача 1. Для ряда значений 4, 6, 6, 8, 11 найдите размах, моду, медиану и среднее арифметическое. Ряд уже упорядочен, поэтому сначала можно определить крайние и центральное значения. Затем отдельно подсчитаем сумму и проверим, какое значение повторяется чаще.

1. Наибольшее значение равно 11, наименьшее — 4. Размах: 11 − 4 = 7.
2. Чаще всего встречается 6: оно записано два раза, остальные значения — по одному. Значит, мода равна 6.
3. В ряду пять значений, поэтому медианой будет третье по порядку число. Это 6.
4. Сумма равна 4 + 6 + 6 + 8 + 11 = 35. Делим её на 5 и получаем среднее арифметическое 7.

Ответ: размах — 7, мода — 6, медиана — 6, среднее арифметическое — 7. Здесь среднее и медиана близки, но они найдены разными способами. Повторяющееся значение 6 стало модой, а не средним ряда.

Задача 2. Время выполнения задания пятью учениками составило 12, 9, 15, 9 и 10 минут. Найдите среднее арифметическое и медиану, затем решите, какая характеристика лучше описывает типичное время. Сначала упорядочим данные для поиска медианы. Среднее будем считать по всем пяти результатам, включая повторяющуюся девятку.

1. Упорядоченный ряд: 9, 9, 10, 12, 15. Его центральное, третье значение — 10, поэтому медиана равна 10 минутам.
2. Складываем время: 12 + 9 + 15 + 9 + 10 = 55 минут. Делим на число учеников: 55 : 5 = 11 минут.
3. Среднее выше медианы из-за результата 15 минут, который тянет его вверх. В этом наборе 10 минут лучше передаёт центральное типичное время, хотя обе характеристики описывают данные по-своему.

Ответ: среднее арифметическое — 11 минут, медиана — 10 минут. Медиана здесь лучше отражает центральное значение, поскольку крайний результат 15 минут влияет на среднее. Для окончательного выбора учитывают, какие именно сведения о времени нужны.

Задача 3. Среднее арифметическое пяти чисел равно 14. Четыре числа — 9, 12, 15 и 18. Найдите пятое число, затем определите размах ряда. Среднее позволяет восстановить сумму всех пяти чисел. После этого найдём недостающее слагаемое и сравним крайние значения ряда.

1. Если среднее пяти чисел равно 14, их общая сумма равна 14 · 5 = 70.
2. Сумма известных чисел: 9 + 12 + 15 + 18 = 54. Пятое число равно 70 − 54 = 16.
3. Теперь упорядочим данные: 9, 12, 15, 16, 18. Максимум равен 18, минимум — 9, значит, размах равен 18 − 9 = 9.

Ответ: пятое число — 16, размах ряда — 9. Проверка: сумма найденного ряда равна 70, а 70 : 5 = 14. Новое значение оказалось между известными крайними числами, поэтому минимум и максимум не изменились.

Типичные ошибки

Медиану иногда ищут в исходной записи и берут число, стоящее в её центре. Так поступают, потому что путают место в записи с положением по величине. Перед поиском медианы обязательно упорядочьте ряд. Проверка простая: числа слева от медианы должны быть не больше неё, а справа — не меньше.

При чётном количестве значений за медиану могут принять только одно из двух центральных чисел. Но ни одно из них по отдельности не занимает точную середину между всеми данными. Найдите среднее арифметическое двух центральных значений. Для проверки убедитесь, что медиана лежит между ними.

Моду путают со средним арифметическим, потому что оба показателя характеризуют набор данных одним числом. Среднее вычисляют по сумме, а моду выбирают по частоте повторений. Чтобы не ошибиться, сначала подсчитайте, сколько раз встретилось каждое значение. Если наибольшая частота общая для нескольких значений, мод несколько.

Размах иногда находят делением максимума на минимум или вычитают числа в неверном порядке. Такая ошибка возникает, если забыть, что размах — именно разность крайних значений. Запишите формулу R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ и подставьте сначала максимум. Результат не должен быть отрицательным; отношение чисел размахом не является.

Связь с другими темами

Для работы со статистическим рядом нужно уметь упорядочивать натуральные, целые и дробные числа. Также понадобится находить сумму нескольких чисел и вычислять среднее арифметическое по известной формуле. Если в ряду есть дроби или отрицательные числа, действуют те же правила, но особенно важно аккуратно сравнить значения и выполнить вычисления.

Статистические характеристики применяют при чтении таблиц и диаграмм, чтобы сравнивать наборы данных и замечать различия между ними. Размах помогает оценить разброс, а среднее, мода и медиана — описать типичный уровень разными способами. Такие навыки полезны и при изучении вероятности: наблюдения помогают анализировать результаты случайных опытов.

Что запомнить

• Статистический ряд упорядочивает данные наблюдений.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Мода — значение с наибольшей частотой; мод может быть несколько.
• Для поиска медианы значения ряда обязательно упорядочивают.
• При чётном числе значений медиана равна среднему двух центральных значений.