31. Начальные сведения о статистике

Определения и обозначения

Вариационный ряд — значения признака в выборке, записанные по возрастанию. Например, рост учеников сначала упорядочивают от меньшего к большему; так легче увидеть крайние значения, середину и повторы. Все наблюдения, даже одинаковые, в ряду сохраняют.

Частота значения — число раз, которое это значение встречается в выборке. Само значение сообщает, какое именно число наблюдали, а частота — сколько таких наблюдений было. Частоты помогают кратко представить данные и не забыть повторения при вычислениях.

Размах выборки — разность между наибольшим и наименьшим значениями. Он показывает, насколько далеко друг от друга находятся крайние результаты, то есть характеризует разброс данных. Для его нахождения не требуется складывать все элементы.

Мода — значение с наибольшей частотой, а медиана — середина упорядоченного ряда. Мода показывает, какое значение встречается чаще всего; медиана делит ряд пополам по числу наблюдений. Если элементов чётное число, медианой считают среднее арифметическое двух центральных значений.

Как это устроено

Сначала определяют, какой признак изучают, и собирают все наблюдения: например, результаты измерений или ответы участников опроса. Затем записывают их в вариационный ряд, переставляя числа по возрастанию, но не удаляя повторы. Это нужно для того, чтобы порядок данных стал наглядным, а каждый результат остался учтённым. Если потерять повторяющееся наблюдение, изменятся частоты, а иногда и среднее с медианой.

Частоты находят, подсчитывая, сколько раз встречается каждое различное значение. Полученные пары «значение — частота» удобно занести в таблицу: так видно, какие результаты повторяются и сколько всего наблюдений собрано. Сумма всех частот должна равняться объёму выборки, то есть общему числу наблюдений. Такая проверка помогает обнаружить пропуск или ошибку подсчёта.

Размах находят по крайним элементам вариационного ряда: из наибольшего значения вычитают наименьшее. Упорядочивание позволяет сразу увидеть оба числа, поэтому остальные результаты для этой операции не нужны. Например, если измерения лежат от 3 до 11, размах равен 11 − 3 = 8. Он показывает ширину промежутка между крайними результатами, но не говорит, как распределены значения внутри этого промежутка.

Среднее арифметическое получают, складывая все наблюдения и деля сумму на их количество. Если данные записаны через частоты, каждое значение умножают на частоту: так оно учитывается ровно столько раз, сколько было наблюдений. Среднее отвечает на вопрос об общем уровне результатов, а мода и медиана описывают выборку иначе: через частое значение и положение середины. Поэтому эти характеристики могут не совпадать.

Выбор характеристики зависит от вопроса. Чтобы описать типичное значение, можно использовать среднее или медиану; если важен самый распространённый результат, нужна мода. Для оценки различия между крайними наблюдениями используют размах. Одного числа часто недостаточно: например, размах не показывает, сосредоточены ли большинство значений рядом друг с другом, а среднее не сообщает, какое значение встречалось чаще.

Основные характеристики выборки

Сначала определите, какой вопрос нужно решить, а затем выберите подходящую строку таблицы. Для среднего не забудьте учесть все наблюдения, в том числе повторяющиеся. Если данные даны частотами, умножайте каждое значение на его частоту.

Разбор задач

Задача 1. Для ряда измерений 4, 6, 5, 4, 7 составить вариационный ряд и найти размах. Нужно упорядочить все значения, не удаляя повторяющееся число 4. Размах удобно вычислить уже после упорядочивания, поскольку крайние элементы будут сразу заметны.

1. Располагаем числа по возрастанию: 4, 4, 5, 6, 7.
2. Наибольшее значение равно 7, наименьшее — 4.
3. Вычитаем: 7 − 4 = 3.

Ответ: вариационный ряд — 4, 4, 5, 6, 7; размах равен 3.

Задача 2. Для ряда 2, 3, 3, 5, 7 определить моду и медиану. Ряд уже упорядочен, поэтому остаётся посчитать повторения и найти центральное положение. В нём пять наблюдений, а значит, середина приходится на третий элемент.

1. Число 3 встречается два раза, остальные числа — по одному разу. Следовательно, мода равна 3.
2. Третий элемент ряда — 3, поэтому это медиана.

Ответ: мода равна 3, медиана равна 3.

Задача 3. В таблице указаны значения 1, 2, 3, 4 с частотами 2, 3, 4, 1. Найти объём выборки, среднее арифметическое, моду и размах. Частоты означают, что каждое значение нужно учитывать указанное число раз. Для среднего можно не выписывать повторяющийся ряд целиком, а найти сумму произведений значений на их частоты.

1. Объём выборки: 2 + 3 + 4 + 1 = 10 наблюдений.
2. Сумма наблюдений: 1·2 + 2·3 + 3·4 + 4·1 = 24. Среднее равно 24 : 10 = 2,4.
3. Наибольшая частота равна 4, она относится к значению 3, значит, мода равна 3.
4. Размах равен 4 − 1 = 3.

Ответ: объём выборки — 10, среднее арифметическое — 2,4, мода — 3, размах — 3.

Типичные ошибки

Размах иногда находят делением наибольшего значения на наименьшее. Так происходит, когда разность путают с отношением, но размах по определению — именно вычитание: наибольшее минус наименьшее. Проверьте себя: размах не может быть отрицательным, а при одинаковых крайних значениях он равен нулю.

Моду могут ошибочно принять за самое большое число ряда. Путаница возникает потому, что в обычной речи «модный» иногда связывают с чем-то выдающимся, но в статистике важна частота, а не величина. Подсчитайте, сколько раз встречается каждое значение: мода должна иметь наибольшее число повторений.

При чётном количестве наблюдений иногда выбирают только один из двух центральных элементов и называют его медианой. Однако ни один из них не находится ровно посередине ряда, поэтому нужно найти их среднее арифметическое. Для проверки отметьте оба центральных места и убедитесь, что полученное число равно их полусумме.

Среднее ошибочно вычисляют только по различным значениям, не учитывая, сколько раз каждое встретилось. Например, значение с частотой 5 должно повлиять на сумму пять раз, а не один. Проверьте расчёт по формуле с частотами: сумма произведений значения на частоту делится на сумму всех частот.

Связь с другими темами

Для работы с выборкой нужны навыки упорядочивания чисел, нахождения среднего арифметического и чтения таблиц. Если уверенно складывать числа и делить сумму на количество слагаемых, легче вычислять среднее, в том числе по частотам. Табличная запись помогает не смешивать значения с числом их повторений.

Статистические характеристики применяют при анализе результатов измерений, опросов и экспериментов. Например, медиана может описать середину результатов, а размах — показать, насколько различаются крайние ответы. Эти способы сбора и описания данных пригодятся при дальнейшем изучении вероятности и статистики.

Что запомнить

• Вариационный ряд содержит все значения выборки, расположенные по возрастанию.
• Частота показывает, сколько раз встречается значение.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• Медиану находят в упорядоченном ряду.
• Среднее арифметическое учитывает все наблюдения.