32. Статистические характеристики

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — сумма всех значений ряда, делённая на их количество. Например, для чисел 2, 4 и 6 оно равно (2 + 4 + 6) : 3 = 4. Эта характеристика помогает одним числом описать общий уровень данных.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда. Если самый высокий результат равен 18, а самый низкий — 7, размах равен 18 − 7 = 11. Он нужен, чтобы оценить, насколько далеко друг от друга расположены крайние значения.

Мода — значение, которое встречается в ряду чаще всего. В ряду 3, 5, 5, 8 модой будет 5, потому что оно повторяется дважды, а остальные значения — по одному разу. Мода показывает наиболее часто встречающийся результат.

Медиана — среднее по расположению значение упорядоченного ряда или среднее арифметическое двух центральных значений. Например, в ряду 2, 4, 7 медиана равна 4, а в ряду 2, 4, 7, 9 — (4 + 7) : 2 = 5,5. Она помогает определить середину данных, не смешивая её с общим средним.

Как это устроено

Медиану находят после расположения чисел по возрастанию, потому что её определяет место значения среди остальных. В исходной записи числа могут идти в любом порядке, поэтому средний по записи элемент не обязательно окажется средним по величине. После упорядочивания при нечётном количестве чисел берут элемент ровно посередине, а при чётном центральными оказываются два элемента. Их среднее арифметическое и становится медианой.

Среднее арифметическое используют, когда нужно представить общий уровень всех наблюдений одним числом. Каждое значение участвует в сумме, поэтому небольшое изменение большинства результатов обычно отражается на среднем. Но очень большое значение увеличивает сумму, а очень маленькое — уменьшает её, и среднее может отдалиться от большинства чисел. Поэтому рядом со средним полезно изучить и другие характеристики.

Для размаха достаточно найти крайние значения: из наибольшего вычитают наименьшее. Если размах велик, между крайними результатами большое расстояние, а если мал — крайние значения близки. Однако эта характеристика не рассказывает, как расположены остальные числа: два ряда с одинаковыми крайними значениями могут иметь совершенно разные значения внутри. Значит, размах показывает только общий интервал от минимума до максимума.

Чтобы определить моду, подсчитывают, сколько раз встречается каждое значение, и сравнивают полученные частоты. Если одно значение повторяется чаще всех остальных, оно и есть мода. Если наибольшая частота принадлежит нескольким значениям, мод несколько. Когда все значения повторяются одинаково часто, выделить наиболее частое нельзя, поэтому моды нет.

Эти характеристики отвечают на разные вопросы о данных. Среднее описывает общий уровень, медиана указывает середину упорядоченного ряда, а мода показывает наиболее частое значение. Размах сообщает, насколько раздвинуты крайние результаты, но не заменяет сведения о середине или частотах. Поэтому для более полного сравнения наборов чисел часто рассматривают несколько характеристик вместе.

Основные статистические характеристики

Сначала определите, на какой вопрос нужно ответить: об общем уровне, середине, частом значении или разбросе. Затем выберите соответствующую строку таблицы и проверьте, нужно ли упорядочить ряд. Для полного описания данных можно применить несколько характеристик.

Разбор задач

Задача 1. Для ряда 4, 7, 5, 9, 5 найдём среднее арифметическое, размах, моду и медиану. Чтобы не спутать середину с порядком записи, сначала расположим числа по возрастанию. Затем отдельно применим правила для каждой характеристики.

1. Упорядочиваем ряд: 4, 5, 5, 7, 9. Складываем числа и делим сумму на пять: (4 + 7 + 5 + 9 + 5) : 5 = 30 : 5 = 6. Это среднее арифметическое.

2. Находим разность максимума и минимума: 9 − 4 = 5. Чаще всего встречается число 5, значит, оно является модой. В упорядоченном ряду из пяти чисел третье число центральное, поэтому медиана равна 5.

Ответ: среднее арифметическое — 6, размах — 5, мода — 5, медиана — 5.

Задача 2. Среднее арифметическое пяти чисел равно 8. Четыре числа равны 6, 7, 10 и 12. Найдём пятое число и размах ряда. Сначала восстановим сумму всех чисел, а затем используем её, чтобы определить недостающее значение.

1. Если среднее равно 8 для пяти чисел, их общая сумма равна 8 · 5 = 40. Сумма известных чисел составляет 6 + 7 + 10 + 12 = 35. Значит, пятое число равно 40 − 35 = 5.

2. Записываем полный ряд по возрастанию: 5, 6, 7, 10, 12. Максимум равен 12, минимум — 5. Размах равен 12 − 5 = 7.

Ответ: пятое число — 5, размах — 7.

Задача 3. Сравним результаты групп: 5, 6, 6, 7, 16 и 5, 7, 7, 8, 13. Для каждой найдём среднее, медиану, моду и размах. После вычислений сравним, насколько среднее и медиана передают типичный результат на фоне высоких крайних значений.

1. В первой группе сумма равна 40, поэтому среднее — 40 : 5 = 8. Ряд уже упорядочен: медиана равна третьему числу 6, мода — 6, размах — 16 − 5 = 11.

2. Во второй группе сумма тоже равна 40, поэтому среднее — 8. Центральное число и наиболее частое значение равны 7, а размах составляет 13 − 5 = 8.

3. Сопоставляем результаты: средние совпали, но медиана второй группы выше. Высокое крайнее значение 16 поднимает среднее первой группы относительно её медианы, поэтому здесь медиана лучше показывает середину результатов.

Ответ: первая группа: среднее 8, медиана 6, мода 6, размах 11; вторая группа: среднее 8, медиана 7, мода 7, размах 8. Для сравнения типичного результата в этом примере полезнее медиана.

Типичные ошибки

Иногда медиану ищут в неупорядоченном ряду и принимают за неё средний элемент записи. Так происходит, когда путают место числа на листе с его положением по величине. Перед поиском медианы проверьте, что числа расположены по возрастанию; затем отсчитайте центральное место.

При чётном количестве чисел ошибочно выбирают только одно из двух центральных. Причина в том, что для нечётного ряда действительно достаточно одного элемента, но при чётном ряду ровно одного среднего места нет. Найдите оба центральных числа и вычислите их среднее арифметическое — это можно проверить на простом ряду из четырёх чисел.

Размах иногда находят, вычитая соседние числа или складывая крайние. Ошибка возникает, если забыть, что он сравнивает именно весь промежуток от минимума до максимума. Найдите наибольшее и наименьшее значения отдельно и выполните вычитание «максимум минус минимум»; размах не бывает отрицательным.

Модой называют любое число из ряда или без подсчёта выбирают несколько значений при равной частоте. Так путают факт присутствия значения с тем, что оно встречается чаще остальных. Подсчитайте количество повторений каждого числа и сравните частоты: модой будет только значение с наибольшей частотой, а при одинаковой частоте у всех значений моды нет.

Связь с другими темами

Для работы со статистическими характеристиками нужно уметь складывать и делить числа, сравнивать значения и упорядочивать их по возрастанию. Подсчёт повторений связывает тему с таблицами частот, а работа с долями и результатами опросов — с процентами. Эти способы используют при обработке результатов наблюдений и экспериментов. Они пригодятся, например, чтобы сравнить контрольные работы, измерения или ответы участников опроса.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Размах равен разности максимального и минимального значений.
• Моду находят по наибольшей частоте повторения.
• Для нахождения медианы ряд сначала упорядочивают.
• При нечётном числе элементов медиана — центральный элемент.
• При чётном числе элементов медиана — среднее двух центральных элементов.
• Одна статистическая характеристика не всегда достаточно точно описывает весь ряд.