"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Случайное событие можно представить как множество исходов опыта, при которых оно происходит. Это позволяет выполнять над событиями операции: объединять их, находить общие исходы или описывать случаи, когда событие не произошло. Такие действия помогают точно записывать условия «хотя бы одно», «оба сразу» и «ни одного», а затем использовать эти записи при вычислении вероятностей. Главное — учитывать все возможные исходы и не повторять один и тот же исход в списке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Событие — результат случайного опыта или совокупность его исходов. Исход — один из возможных результатов опыта, например число, выпавшее на кубике. Событие можно задать перечислением всех подходящих исходов: если A означает «выпало чётное число», то A = {2, 4, 6}. Такая запись помогает увидеть, какие именно результаты считаются наступлением события.
Объединение событий A и B обозначают A ∪ B. Это событие происходит, если произошло хотя бы одно из событий A и B; возможен и случай, когда произошли оба. Слово «или» здесь понимается широко: объединение собирает исходы, подходящие A или B, и поэтому удобно описывает условия вроде «выпало чётное число или число больше четырёх».
Пересечение событий A и B обозначают A ∩ B. Оно происходит, когда одновременно произошли и A, и B, то есть результат удовлетворяет обоим условиям. Например, при броске кубика пересечение событий «выпало чётное число» и «выпало число больше четырёх» содержит только исход 6. Пересечение нужно, когда требуется найти результаты, общие для двух условий.
Противоположное событие Ā — событие, состоящее из всех исходов опыта, при которых A не происходит. Для его записи сначала нужно знать все возможные исходы, иначе нельзя определить, какие из них остались за пределами A. Если A — «выпало чётное число», то при броске кубика Ā = {1, 3, 5}; это событие описывает все случаи, когда A не наступает.
Представим все возможные исходы опыта в виде общего множества, а каждое событие — в виде части этого множества. Например, при броске кубика множество исходов равно {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а событие «выпало чётное число» — {2, 4, 6}. Тогда объединение можно получить, собрав исходы из двух событий, а пересечение — оставив те, которые попали в оба списка. Такой взгляд связывает операции над событиями с действиями над множествами.
Пусть A — «выпало чётное число», а B — «выпало число больше четырёх». Тогда A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}. Условие «A или B» выполняется при исходах 2, 4, 5 и 6, поэтому A ∪ B = {2, 4, 5, 6}; исход 6 подходит сразу двум условиям, но в списке остаётся один раз. Условие «A и B» выполняется только при 6, значит A ∩ B = {6}.
Чтобы получить противоположное событие, сравните исходы A со всеми возможными исходами опыта и возьмите те, которых в A нет. Так, если при броске кубика A = {2, 4, 6}, то из общего списка {1, 2, 3, 4, 5, 6} остаются {1, 3, 5}. Именно эти исходы составляют Ā. События A и Ā не пересекаются, потому что один и тот же исход не может одновременно принадлежать A и не принадлежать ему; вместе же они охватывают весь список исходов.
События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Это означает, что у их множеств нет общих элементов, а пересечение равно пустому множеству: A ∩ B = ∅. Например, при одном броске кубика события «выпало 1» и «выпало 6» несовместны, потому что результатом броска не могут быть сразу два разных числа. Несовместность проверяют не по тому, насколько по-разному звучат названия событий, а по наличию общих исходов.
Практически операции находят через списки исходов: сначала записывают возможные результаты опыта, затем отдельно выписывают исходы A и B. Для объединения составляют общий список, не дублируя исходы, для пересечения отмечают только совпадающие, а для противоположного события вычёркивают исходы A из полного списка. Такая последовательность помогает не спутать «хотя бы одно» с «оба» и не забыть исходы, которые не вошли в событие.
| Операция | Обозначение | Когда происходит | Пример для броска кубика |
|---|---|---|---|
| Объединение | A ∪ B | Произошло A или B, возможно — оба события | A — выпало чётное число, B — выпало число больше 4; A ∪ B = {2, 4, 5, 6} |
| Пересечение | A ∩ B | Произошли одновременно A и B | Для тех же A и B: A ∩ B = {6} |
| Противоположное событие | Ā | Событие A не произошло | Если A — выпало чётное число, Ā = {1, 3, 5} |
| Несовместные события | A ∩ B = ∅ | События не могут произойти одновременно | A — выпало 1, B — выпало 6 |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала опишите события как множества исходов и сравните их с полным набором результатов опыта. Затем выберите нужную операцию по условию: «или», «оба» или «не произошло». Общие исходы при объединении записывайте один раз, а несовместность проверяйте по пересечению.
При броске кубика A — выпало число 1 или 2, B — выпало число 2 или 3. Найдите A ∪ B и A ∩ B. Сначала переведём описания событий в списки исходов: A = {1, 2}, B = {2, 3}. Затем отдельно найдём исходы, подходящие хотя бы одному условию, и исходы, подходящие обоим.
Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3}, A ∩ B = {2}. Число 2 вошло в объединение один раз, потому что множество исходов не содержит повторяющихся элементов.
При броске кубика A — выпало число не меньше 4, B — выпало нечётное число. Найдите A ∪ B, A ∩ B и Ā. Все три действия выполняем относительно одного и того же набора возможных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Это важно для поиска противоположного события.
Ответ: A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {5}, Ā = {1, 2, 3}. Проверка противоположного события: вместе A и Ā дают все шесть исходов, и общих элементов у них нет.
Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 наугад выбирают одно. A — выбранное число делится на 2, B — выбранное число делится на 3. Найдите A ∪ B, A ∩ B и противоположное событие для A ∪ B; определите, являются ли A и B несовместными. Запишем списки исходов, чтобы увидеть, какие числа удовлетворяют каждому условию.
Ответ: A ∪ B = {2, 3, 4, 6}, A ∩ B = {6}, противоположное к A ∪ B — {1, 5}; события A и B совместны. Число 6 делится и на 2, и на 3, поэтому события могут произойти одновременно.
Иногда в слове «или» видят требование, чтобы произошло ровно одно событие, и исключают общие исходы из A ∪ B. Так ошибаются, перенося в математику узкий смысл бытового «или». Проверьте себя: любой исход, принадлежащий A или B, должен попасть в объединение, даже если он входит в оба списка.
В пересечение записывают все исходы из A и B, как будто это объединение. Путаница возникает потому, что оба действия используют одни и те же списки событий. Для проверки оставьте только исходы, которые можно найти в каждом из списков одновременно.
Противоположное событие находят, не выписав все возможные исходы опыта. Тогда часть подходящих результатов может потеряться, ведь Ā зависит от полного множества исходов. Перед вычислением допишите полный список, а затем уберите из него элементы A.
События называют несовместными лишь потому, что у них разные названия или условия. Но разные условия могут выполняться при одном исходе, как делимость на 2 и на 3 для числа 6. Проверка простая: если A ∩ B не пусто, события совместны; несовместность означает A ∩ B = ∅.
Чтобы выполнять операции над событиями, нужно уметь описывать случайный опыт и перечислять его возможные исходы. Это продолжает изучение случайных событий и готовит к вычислению вероятностей объединения, пересечения и противоположного события. Связь с операциями над множествами помогает выполнять действия без догадок: исходы события рассматривают как элементы множества, а события — как множества исходов. Поэтому правила объединения, пересечения и дополнения применимы и к задачам теории вероятностей.
В объединение событий входят исходы, общие для обоих событий?
Да. Объединение включает все исходы, при которых произошло хотя бы одно из событий, в том числе общие для A и B. Каждый такой исход записывают только один раз.
Чем объединение событий отличается от пересечения?
Объединение A ∪ B содержит исходы, принадлежащие хотя бы одному из событий. Пересечение A ∩ B содержит только исходы, которые принадлежат обоим событиям одновременно.
Как найти событие, противоположное данному?
Сначала выпишите все возможные исходы опыта, затем исключите исходы события A. Оставшиеся исходы образуют противоположное событие Ā.
Когда два события называют несовместными?
События несовместны, если в одном опыте они не могут произойти одновременно. У них нет общих исходов, поэтому A ∩ B = ∅.
Может ли объединение несовместных событий содержать исходы обоих событий?
Да. Объединение включает исходы и события A, и события B, хотя общих исходов у них нет. Поэтому в нём оказываются все исходы, входящие хотя бы в одно из этих событий.
33. Операции над событиями
