"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
При расчёте вероятности нескольких событий важно выяснить, влияет ли одно на другое. Если наступление события A не меняет вероятность события B, события независимы; если меняет — зависимы. Для независимых событий вероятности совместного наступления перемножают, а для зависимых учитывают вероятность второго события при условии, что первое уже произошло. Эти правила помогают решать задачи на броски монеты, извлечение шаров и карт.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Независимые события A и B — события, наступление одного из которых не меняет вероятность другого. Их критерий: P(A ∩ B) = P(A)P(B), где A ∩ B означает совместное наступление событий. Это равенство позволяет проверить независимость и найти вероятность того, что произойдут оба события.
Зависимые события — события, для которых наступление одного меняет вероятность другого. В таком случае P(A ∩ B) ≠ P(A)P(B). Это отличие нужно учитывать, чтобы не использовать правило для независимых событий там, где изменились условия испытания.
Условная вероятность P(B|A) — вероятность события B при условии, что событие A уже произошло. Если P(A) > 0, то P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A). Эта запись помогает считать вероятность B не среди всех исходов, а только среди тех, где произошло A.
Произведение вероятностей зависимых событий задаётся формулой P(A ∩ B) = P(A)P(B|A). Здесь вероятность первого события умножается на вероятность второго с учётом первого. Правило нужно для расчёта совместного наступления событий в последовательных испытаниях.
Проверять независимость удобнее на ситуации, где условия испытания либо сохраняются, либо меняются. Если вынуть шар, записать его цвет и вернуть в коробку, состав коробки останется прежним: вероятность цвета при следующем извлечении не изменится. Если шар не возвращать, состав изменится, и вероятность следующего результата может стать другой. Поэтому извлечения с возвращением обычно независимы, а без возвращения — зависимы.
Если A и B независимы, то знание о наступлении A ничего не добавляет к сведениям о B: P(B|A) = P(B). По определению условной вероятности P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A). Подставляя P(B) вместо P(B|A) и умножая на P(A), получаем P(A ∩ B) = P(A)P(B). Значит, совместный результат можно найти произведением вероятностей каждого события.
Для зависимых событий вероятность B после наступления A уже не обязана совпадать с первоначальной вероятностью B. Например, после извлечения красного шара без возвращения красных шаров в коробке становится меньше. Поэтому сначала определяют, какие исходы остались возможны после A, а затем находят среди них долю исходов, подходящих для B. Полученная доля и есть P(B|A).
Правило P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) следует из определения условной вероятности: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A). Умножив обе части на P(A), получаем формулу совместного наступления. В последовательных испытаниях это означает: сначала рассчитывают вероятность первого результата, затем — вероятность следующего при уже известном первом результате. Для нескольких шагов рассуждение продолжают таким же образом, каждый раз учитывая предыдущие условия.
Независимость не означает, что события не могут случиться одновременно. Например, при двух бросках монеты событие «в первом броске орёл» и событие «во втором броске орёл» независимы, но оба могут произойти. Несовместные события, напротив, не происходят вместе: если выпал орёл, решка в том же броске выпасть не может. При положительных вероятностях такие события зависимы, потому что наступление одного делает вероятность другого равной нулю.
| Признак | Независимые события A и B | Зависимые события A и B |
|---|---|---|
| Влияние наступления A на вероятность B | Не меняет вероятность B | Меняет вероятность B |
| Связь вероятностей | P(B|A) = P(B) | Обычно P(B|A) ≠ P(B) |
| Формула вероятности совместного наступления | P(A ∩ B) = P(A)P(B) | P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) |
| Условная вероятность | P(B|A) = P(B) | Нужно учитывать условие A |
| Типичная ситуация | Броски монеты | Извлечение без возвращения |
Сначала определите, изменились ли условия для второго события после наступления первого. Если вероятность второго сохраняется, используйте формулу для независимых событий; если меняется — условную вероятность. Таблица помогает выбрать правило, но в конкретной задаче вывод нужно обосновать её условиями.
Задача 1. Монету подбрасывают дважды. Найдите вероятность того, что в обоих бросках выпадет орёл. Результат первого броска не влияет на второй, поэтому события независимы. Вероятность орла при каждом броске равна 1/2.
Ответ: 1/4.
Задача 2. В коробке 5 красных и 3 синих шара. Два шара вынимают подряд без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара красные. Второй раз выбирают уже из изменившегося состава: после первого красного в коробке останется 4 красных шара из 7. Значит, события зависимы.
Ответ: 5/14.
Задача 3. Из колоды в 36 карт вытягивают одну карту, не возвращают её, затем вытягивают вторую. Найдите вероятность того, что первая карта — туз, а вторая — король. После извлечения туза в колоде остаётся 35 карт, но все 4 короля по-прежнему в ней. Поэтому вероятность второго события считаем при условии первого.
Ответ: 4/315.
Считать события независимыми лишь потому, что они описаны по отдельности, — неверно: отдельные формулировки не показывают, влияют ли события друг на друга. Ошибку допускают, не проверяя условия испытания. Для самопроверки выясните, меняется ли вероятность B после наступления A, или сравните P(B|A) и P(B).
При зависимых событиях нельзя перемножать исходные вероятности P(A) и P(B), не проверив вторую из них. После первого шага состав предметов или набор возможных исходов может измениться. Пересчитайте вероятность второго события среди оставшихся вариантов и используйте P(A)P(B|A).
Независимость и несовместность — разные свойства. Несовместные события не могут произойти вместе, а независимые не влияют друг на друга; путаница возникает из-за того, что оба понятия описывают связь событий. Проверьте, возможно ли совместное наступление: если нет и вероятности обоих событий положительны, они зависимы.
В записи P(B|A) порядок событий нельзя менять местами: это вероятность B при условии A, а P(A|B) — вероятность A при условии B. Их путают, полагая, что условие можно переставить без последствий. Для проверки проговорите запись словами и выясните, какое событие уже произошло.
Для работы с зависимостью и независимостью нужно знать, что такое случайное событие, и уметь находить вероятность по числу равновозможных исходов. Знак ∩ связан с операциями над событиями: A ∩ B означает, что произошли и A, и B. Правило умножения пригодится в задачах на последовательные испытания, например при извлечении предметов или нескольких бросках. Оно также служит основой дальнейшего изучения теории вероятностей.
Как проверить, являются ли два события независимыми?
Можно проверить, меняется ли вероятность B после того, как произошло A: если P(B|A) = P(B), события независимы. Также применяют критерий P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Почему при извлечении шара без возвращения события зависимы?
После первого извлечения состав шаров меняется. Поэтому вероятность цвета второго шара зависит от того, какой шар вынули первым.
Чем независимые события отличаются от несовместных?
Независимость означает, что одно событие не влияет на вероятность другого. Несовместные события не могут наступить одновременно; если их вероятности положительны, они зависимы.
Как вычислить вероятность второго события при условии первого?
Нужно найти вероятность второго события среди исходов, в которых первое уже произошло. Формула: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A), если P(A) > 0.
Можно ли перемножать вероятности, если события зависимы?
Можно, но нельзя просто перемножить исходные вероятности P(A) и P(B). Используйте формулу P(A ∩ B) = P(A)P(B|A), то есть учтите условную вероятность второго события.
34. Зависимые и независимые события
