35. Геометрическая вероятность

Определения и обозначения

Геометрическая вероятность — способ находить вероятность события как отношение меры подходящей геометрической области к мере всей области выбора. Он нужен, когда исходов бесконечно много и их неудобно пересчитывать по одному. Вместо числа исходов сравнивают длины, площади или объёмы.

Область возможных попаданий — множество всех точек, куда может попасть случайно выбранная точка. В равномерной модели её мера играет роль общего числа равновозможных исходов: участки одинаковой меры имеют одинаковые шансы. Это помогает понять, какую область брать в знаменатель формулы.

Благоприятная область — часть области выбора, попадание в которую означает наступление события. Её мера показывает, какая доля всех возможных точек подходит под условие. Чтобы найти вероятность, нужно сначала точно описать эту область, а не выбирать фигуру только по её внешнему сходству с условием.

Геометрическая мера зависит от того, где выбирают точку: на отрезке измеряют длину, на плоскости — площадь, в пространстве — объём. Такая мера позволяет сравнивать благоприятную и общую области в одной модели. В числителе и знаменателе формулы используют один и тот же вид меры.

Как это устроено

При обычном подсчёте вероятности сравнивают число благоприятных исходов с числом всех исходов. Если точку выбирают непрерывно, возможных положений бесконечно много, поэтому пересчитать их нельзя. Равномерный выбор позволяет заменить подсчёт сравнением размеров: чем больше часть области, тем выше шанс попадания в неё.

Пусть A — благоприятная область, а Ω — вся область возможных попаданий. Тогда P = мера(A) / мера(Ω). Формула работает потому, что при равномерном выборе вероятность попасть в участок пропорциональна его мере. Например, участок, занимающий треть площади целой фигуры, получает вероятность ⅓.

Равномерность — необходимое условие: точка должна иметь одинаковую плотность выбора во всех частях области. Если некоторые места выбираются чаще, даже участки одинаковой площади могут иметь разные вероятности. Границы обычно не влияют на ответ, поскольку отдельная точка на отрезке или линия на плоскости имеет нулевую меру; то же относится к поверхности тела при вычислении объёма.

Выбирай меру по размерности области: на отрезке сравнивают длины, на плоской фигуре — площади, в пространственном теле — объёмы. Нельзя делить площадь на длину или объём на площадь: такое отношение не описывает долю одной области в другой. При этом и благоприятная, и общая области должны быть заданы в одном и том же пространстве.

Решение удобно строить в одном порядке. Сначала изобрази область, где может оказаться точка, и отметь часть, подходящую под условие. Затем найди меры обеих областей и раздели меру благоприятной части на меру всей области. Если выбирают несколько точек, их положения можно представить как одну точку в пространстве координат и выделить там область, удовлетворяющую условию.

Геометрическая вероятность в разных моделях

Сначала определи, где выбирается точка, и найди меру всей области в соответствующем столбце. Затем вычисли ту же меру для части, которая подходит под условие, и составь отношение. Например, для точки на плоскости обе величины должны быть площадями.

Разбор задач

Задача 1. На отрезке длиной 10 случайно и равномерно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она попадёт на отрезок длиной 3, лежащий внутри данного отрезка.

1. Область выбора — весь отрезок, его длина равна 10.
2. Благоприятная область — указанный внутри него отрезок длиной 3.
3. Делим длину благоприятной части на длину всей области: P = 3 / 10 = 0,3.

Ответ: 0,3. Положение короткого отрезка внутри длинного не меняет результат: при равномерном выборе важна доля длины, которую он занимает.

Задача 2. Точку равномерно выбирают внутри прямоугольника со сторонами 6 и 4. Найдите вероятность её попадания в расположенный внутри него прямоугольник со сторонами 2 и 3.

1. Проверяем условие: меньший прямоугольник целиком расположен внутри области выбора.
2. Площадь большого прямоугольника равна 6 · 4 = 24, а малого — 2 · 3 = 6.
3. Составляем отношение площадей: P = 6 / 24 = ¼.

Ответ: ¼. Используем площади, потому что точку выбирают на плоскости, и обе фигуры прямоугольные.

Задача 3. Две точки независимо и равномерно выбирают на отрезке длиной 1. Найдите вероятность того, что расстояние между ними не превосходит ⅓.

1. Обозначим координаты точек x и y. Каждой паре соответствует точка (x; y) единичного квадрата: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
2. Условие |x − y| ≤ ⅓ задаёт полосу вдоль диагонали квадрата. За её пределами остаются два прямоугольных треугольника с катетами ⅔.
3. Площадь каждого треугольника равна ½ · ⅔ · ⅔ = 2/9. Благоприятная площадь равна 1 − 2 · 2/9 = 5/9, поскольку площадь всего квадрата равна 1.

Ответ: 5/9. Координатная модель учитывает сразу все пары точек, а не рассматривает их по отдельности.

Типичные ошибки

Смешивают виды мер. Например, делят длину на площадь или площадь на объём. Так ошибаются, если не определили размерность области; проверь себя, задав вопрос, что именно выбирают — точку на отрезке, на плоскости или в теле. Числитель и знаменатель должны измеряться одинаково.

Берут меру неподходящей фигуры. Благоприятную область нельзя считать отдельно от области выбора: она должна быть её частью. Ошибка возникает, когда нужную фигуру находят, но не проверяют, целиком ли она помещается внутри общей области. Изобрази обе области и проверь условие включения.

Применяют отношение мер при неравномерном выборе. Причина ошибки — предположение, что равные по размеру части всегда равновероятны. Это верно только при равномерном распределении точки. Перед вычислением уточни условие выбора: если в разных местах шанс неодинаков, простой дроби мер недостаточно.

Не учитывают всё условие задачи. Можно посчитать площадь фигуры, похожей на благоприятную, но не исключить из неё точки, для которых событие не выполняется. Такое происходит, когда условие заменяют приблизительным рисунком. Проверь каждую часть выбранной области подстановкой в условие или анализом координат.

Связь с другими темами

Для геометрической вероятности нужны отношения длин, площадей и объёмов, а также умение находить эти величины. Она продолжает изучение случайных событий, вероятности и равновозможных исходов: знакомое отношение числа исходов заменяется отношением мер. Такой подход пригодится в задачах о случайном выборе точки, а также при моделировании непрерывных случайных величин, значения которых могут меняться в промежутке.

Что запомнить

• Геометрическую вероятность используют при равномерном выборе точки.
• Вероятность равна отношению меры благоприятной области к мере всей области выбора.
• В числителе и знаменателе должны стоять меры одного типа.
• На отрезке сравнивают длины, на плоскости — площади, в пространстве — объёмы.
• Сначала нужно точно определить область возможных попаданий и благоприятную область.
• Границы обычно не меняют вероятность, если их мера равна нулю.