§ 76. Геометрическая вероятность

Определения и обозначения

Геометрическая вероятность — отношение меры благоприятной части области к мере всей области при равномерном выборе точки. Она позволяет находить шанс события не подсчётом отдельных исходов, а сравнением размеров областей. Например, если подходящая часть занимает треть всего отрезка, вероятность попадания в неё равна ⅓. Условие равномерности означает, что выбор не отдаёт предпочтения одним частям области перед другими.

Пространство элементарных исходов — область, в которой может оказаться случайно выбранная точка. Его обозначают Ω; оно включает все возможные положения точки, разрешённые условием задачи. Это нужно определить до вычислений, иначе можно сравнить благоприятную часть не с той областью. Например, если точку выбирают внутри квадрата, пространство исходов — весь квадрат, а не плоскость целиком.

Благоприятная область — часть пространства исходов, соответствующая событию, вероятность которого требуется найти. Обычно её обозначают A. Чтобы её найти, переводят условие задачи на язык геометрии: отмечают все положения точки, при которых событие происходит. Если подходящая фигура выходит за границы Ω, в A входит только её часть внутри Ω.

Мера области — длина, площадь или объём, используемые для вычисления геометрической вероятности. Какую именно меру брать, зависит от того, где выбирают точку: на линии, на плоскости или в пространственном теле. Мера позволяет сравнивать размеры благоприятной области и всего пространства исходов. В записи P(A) = m(A) / m(Ω) буква m обозначает соответствующую меру.

Как это устроено

При равномерном выборе точки у областей одинакового размера одинаковая возможность получить точку. Если благоприятная часть вдвое меньше всей области, на неё приходится вдвое меньшая доля возможных положений. Поэтому вероятность определяется не числом точек: даже отрезок содержит бесконечно много точек, и обычный подсчёт здесь не работает. Вместо него сравнивают размеры частей одной и той же области.

Пространство исходов задают по словам о месте выбора: «на отрезке», «внутри круга», «в прямоугольнике». Затем условие события переводят в геометрическое описание и выделяют подходящую часть. Например, если нужно попасть в круг, а точку выбирают в прямоугольнике, благоприятная область — часть круга, оказавшаяся внутри прямоугольника. Такой порядок не даёт случайно включить в числитель участки, где выбрать точку нельзя.

Размер сравнивают той же мерой, которой описано пространство. На отрезке положение точки задаётся одной координатой, поэтому части измеряют длиной. На плоскости размер области измеряется площадью, а в пространстве — объёмом: длина или площадь не показывает долю двумерного или трёхмерного пространства. Мера должна быть одинакового типа и в числителе, и в знаменателе.

Если выбор равномерный, вероятность события равна доле всей меры, занятой благоприятной областью: P(A) = m(A) / m(Ω). Формула применима, когда Ω имеет конечную положительную меру и точка действительно выбирается равномерно относительно этой меры. Поскольку A является частью Ω, её мера не больше меры Ω, поэтому результат лежит от 0 до 1. Если подходящая область отсутствует, вероятность равна 0, а если подходит вся область — 1.

Граница обычной линии, фигуры или тела имеет нулевую меру в пространстве на единицу меньше: например, окружность не занимает площадь, а поверхность тела не занимает объём. Поэтому вероятность выбрать точку именно на такой границе равна нулю. Включение границы в область или исключение её обычно не меняет вычисление. Это свойство позволяет не тратить время на уточнение строгих или нестрогих неравенств, если речь идёт о стандартных геометрических фигурах.

Вычисление геометрической вероятности в разных пространствах

Сначала по модели выбора найдите пространство Ω и нужную меру для него. Затем определите благоприятную часть A и вычислите её меру в тех же единицах. Разделите меру A на меру Ω и проверьте, что ответ находится между 0 и 1.

Разбор задач

Задача 1. На отрезке длиной 10 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она попадёт на подотрезок длиной 3. Здесь весь отрезок — пространство исходов Ω, а указанный подотрезок — благоприятная область A. Поскольку точку выбирают равномерно, достаточно сравнить длины.

1. Определяем меру: выбор происходит на отрезке, значит, используем длину.
2. Подставляем длины в формулу: P(A) = 3 / 10.
3. Проверяем: 3 меньше 10, поэтому вероятность меньше 1.

Ответ: 3/10, или 0,3. Такой результат означает, что благоприятный подотрезок занимает 30% длины всего отрезка. Расположение подотрезка при этих условиях не меняет вероятность.

Задача 2. В квадрат со стороной 2 случайно выбирают точку. Найдите вероятность попадания в вписанный круг. Круг вписан в квадрат, поэтому его диаметр равен стороне квадрата, а радиус равен 1. Нужно сравнить площадь круга с площадью квадрата, потому что точку выбирают на плоскости.

1. Площадь благоприятной области: Sкруга = π · 1² = π.
2. Площадь пространства исходов: Sквадрата = 2² = 4.
3. Находим отношение площадей: P(A) = π / 4.

Ответ: π/4, приблизительно 0,785. Площадь круга меньше площади квадрата, как и должна быть площадь благоприятной части. Точки на границе круга не меняют результат.

Задача 3. В прямоугольнике со сторонами 2 и 1 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она окажется внутри круга радиуса 1 с центром в центре прямоугольника. Круг выходит за верхнюю и нижнюю стороны прямоугольника, поэтому благоприятная область — не весь круг, а его пересечение с прямоугольником. Площадь пересечения удобнее найти по горизонтальным полосам.

1. Площадь прямоугольника равна 2 · 1 = 2. Удобно поместить центр в начало координат: прямоугольник задаётся условиями −1 ≤ x ≤ 1 и −½ ≤ y ≤ ½.
2. На высоте y круг занимает по горизонтали от −√(1 − y²) до √(1 − y²), поэтому ширина полосы внутри прямоугольника равна 2√(1 − y²).
3. Складывая площади полос от y = −½ до y = ½, получаем площадь пересечения √3/2 + π/3. Делим её на площадь прямоугольника: P(A) = (√3/2 + π/3) / 2 = √3/4 + π/6.

Ответ: √3/4 + π/6, приблизительно 0,957. Отношение меньше 1, потому что часть прямоугольника не принадлежит кругу. Если бы в числителе взяли площадь всего круга, часть круга за границами прямоугольника была бы ошибочно посчитана как доступная для выбора точка.

Типичные ошибки

• Берут длину вместо площади или объёма. Такое случается, когда переносят привычный способ решения задач на отрезке на плоскость или в пространство. Но длина не измеряет долю двумерной области, а площадь — долю трёхмерного тела. Проверьте, где выбирают точку, и используйте для числителя и знаменателя одну и ту же подходящую меру.
• Меняют местами числитель и знаменатель. Тогда в числителе оказывается вся область, а в знаменателе — её часть; результат может быть больше 1. Ошибку допускают, если механически записывают дробь, не связывая её с долей благоприятной области. Проверьте, что сверху стоит мера A, снизу — мера Ω, а итог не превышает 1.
• Складывают вероятности частей без проверки пересечения. Если области перекрываются, общая часть будет посчитана дважды. Так происходит, когда благоприятную область разбивают на несколько фигур и складывают их площади или вероятности. Проверьте, пересекаются ли части; при пересечении исключите повторно учтённую площадь или разделите область на неперекрывающиеся части.
• Применяют формулу при неравномерном выборе. Одно и то же место может получать точку чаще, чем другое, поэтому доля площади уже не равна вероятности. Ошибка возникает из-за предположения, что слово «случайно» автоматически означает равномерно. Проверьте условие о способе выбора; если равномерность не задана или не следует из модели, нужно учитывать распределение точки.

Связь с другими темами

Для геометрической вероятности нужны формула классической вероятности, вычисление длин, площадей и объёмов, а также свойства окружности и простых фигур. Она расширяет привычную идею вероятности: вместо подсчёта равновозможных отдельных исходов сравнивают непрерывные области. Такие модели встречаются при случайном выборе точки, времени или расстояния и связаны с равномерным распределением. Далее тема ведёт к координатному методу, интегралу и непрерывным случайным величинам, с помощью которых находят меры более сложных областей.

Что запомнить

• Геометрическая вероятность применяется при равномерном выборе точки.
• Вероятность равна отношению меры благоприятной области к мере всего пространства исходов.
• На отрезке используют длины, на плоскости — площади, в пространстве — объёмы.
• Сначала нужно определить всю область возможных исходов, затем благоприятную область.
• Значение геометрической вероятности находится от 0 до 1.
• Границы областей обычно не влияют на результат.
• Формулу нельзя применять при неравномерном распределении точки.