§ 75. Формула полной вероятности

Определения и обозначения

Полная группа событий — это несколько событий, которые попарно несовместны, то есть не могут произойти одновременно, и вместе исчерпывают все возможные исходы испытания. Если обозначить их H₁, H₂, …, Hₙ, то никакой вариант не должен остаться вне этой группы. Это позволяет разбить задачу на отдельные случаи без пропусков и повторного счёта.

Гипотеза — одно из событий полной группы, рассматриваемое как возможное условие наступления события A. Например, при случайном выборе ящика гипотезами могут быть выбор первого и выбор второго ящика. Гипотезы описывают сценарии, по которым затем отдельно изучают событие A.

Условная вероятность P(A|Hᵢ) — вероятность события A при условии, что гипотеза Hᵢ уже произошла. Вертикальная черта читается «при условии». Такая запись нужна, когда вероятность события зависит от выбранного сценария.

Формула полной вероятности выражает вероятность события A через вероятности гипотез и условные вероятности этого события: P(A) = ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ). Она объединяет все возможные пути наступления A в одно значение.

Как это устроено

Пусть H₁, H₂, …, Hₙ — полная группа гипотез, а A — интересующее нас событие. Если A произошло, то одновременно с ним произошла ровно одна гипотеза Hᵢ, потому что гипотезы не пересекаются и охватывают все варианты. Поэтому событие A разбивается на несовместные случаи A∩H₁, A∩H₂, …, A∩Hₙ.

Случай A∩Hᵢ означает, что реализовался сценарий Hᵢ и в нём наступило A. Все такие случаи вместе дают всё событие A: ни один способ его наступления не потерян. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий получаем P(A) = ΣP(A∩Hᵢ).

Для каждого пересечения применяем формулу умножения вероятностей: P(A∩Hᵢ) = P(Hᵢ)P(A|Hᵢ). Здесь сначала учитывается шанс выбрать или получить сценарий Hᵢ, а затем шанс события A внутри него. Подставляя это равенство в сумму, получаем формулу полной вероятности.

Множитель P(Hᵢ) — вероятность самого сценария, а P(A|Hᵢ) — вероятность события в этом сценарии. Их произведение показывает вероятность именно данного пути к событию A. Поэтому сценарии с разными шансами не могут влиять на результат одинаково.

Гипотезы выбирают так, чтобы они не пересекались и охватывали все варианты из условия. Затем выписывают вероятность каждой гипотезы и соответствующую ей условную вероятность A, не меняя их местами. Формула даёт безусловную вероятность A, потому что складывает вероятности всех возможных путей, которыми A может наступить.

Как применять формулу полной вероятности

Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом проверки решения. Сначала проверьте гипотезы, затем заполните вероятности сценариев и условные вероятности события. В конце убедитесь, что в сумме присутствует каждое слагаемое для полной группы.

Разбор задач

1. Выбор ящика

Из двух ящиков случайно выбирают один, поэтому выбор ящика задаёт гипотезы. В первом ящике 3 белых шара из 5, во втором — 1 белый шар из 5. Обозначим событие A: вынут белый шар.

1. Пусть H₁ — выбран первый ящик, H₂ — второй ящик. Тогда P(H₁) = P(H₂) = ½, а P(A|H₁) = 3/5 и P(A|H₂) = 1/5.
2. Применяем формулу: P(A) = ½ · 3/5 + ½ · 1/5 = 3/10 + 1/10 = 4/10.

Ответ: вероятность вынуть белый шар равна 2/5.

2. Брак на одном из трёх станков

Пусть доли продукции станков равны 0,5, 0,3 и 0,2, а вероятности брака на них — 0,02, 0,03 и 0,05. Событие A означает, что случайная деталь бракованная. Гипотезы H₁, H₂, H₃ указывают, на каком станке изготовлена деталь.

1. Вероятности гипотез уже заданы долями продукции: P(H₁) = 0,5, P(H₂) = 0,3, P(H₃) = 0,2. Условные вероятности равны P(A|H₁) = 0,02, P(A|H₂) = 0,03, P(A|H₃) = 0,05.
2. P(A) = 0,5 · 0,02 + 0,3 · 0,03 + 0,2 · 0,05 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029.

Ответ: вероятность брака равна 0,029, или 2,9%.

3. Событие с несколькими изделиями

Два завода выпускают соответственно 60% и 40% продукции, а вероятности брака одного изделия равны 0,01 и 0,04. Требуется найти вероятность того, что из двух случайно отобранных изделий оба окажутся годными. Гипотезы — завод-изготовитель партии: H₁ и H₂.

1. При H₁ вероятность годности одного изделия равна 0,99, поэтому для двух независимых изделий P(A|H₁) = 0,99² = 0,9801. При H₂ она равна 0,96² = 0,9216.
2. Взвешиваем эти значения по долям заводов: P(A) = 0,6 · 0,9801 + 0,4 · 0,9216 = 0,58806 + 0,36864 = 0,9567.

Ответ: вероятность того, что оба изделия годны, равна 0,9567, или 95,67%.

Типичные ошибки

Неполная или пересекающаяся группа гипотез. Если варианты не охватывают все исходы, часть путей к A пропадёт; если пересекаются, некоторые пути будут посчитаны дважды. Проверьте, что гипотезы несовместны, а сумма их вероятностей равна 1.

Замена P(A|Hᵢ) на P(A). Безусловная вероятность не учитывает конкретный сценарий, поэтому может быть одинаково подставлена там, где условия различаются. Спросите себя: «Известно ли, что произошла Hᵢ?» — если да, нужна условная вероятность.

Сложение условных вероятностей без весов. Сценарии могут иметь разные вероятности, поэтому простая сумма P(A|H₁) + P(A|H₂) неверна. Перед каждым условным значением должен стоять множитель P(Hᵢ), а все полученные произведения нужно складывать.

Путаница P(A|Hᵢ) и P(Hᵢ|A). В первом случае известно наступление гипотезы, во втором — события A, поэтому смысл величин различается. Сверяйте порядок букв с вопросом задачи: для полной вероятности нужна вероятность A при условии Hᵢ.

Связь с другими темами

Для формулы полной вероятности нужны понятия случайного события, вероятности, несовместных событий и теорема сложения вероятностей. Они объясняют, почему отдельные случаи можно объединять сложением.

Формула умножения вероятностей и условная вероятность позволяют вычислять вероятность каждого пересечения A∩Hᵢ. Без них нельзя получить отдельные слагаемые формулы полной вероятности.

С формулой Байеса метод образует связку: полная вероятность находит шанс события A, а Байес по наступившему A помогает оценить, какая гипотеза была верной.

Что запомнить

• Гипотезы должны образовывать полную группу событий.
• Для каждой гипотезы находят условную вероятность искомого события.
• Формула: P(A) = ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ).
• Вероятность события — сумма вероятностей его наступления по всем гипотезам.
• Каждую условную вероятность умножают на вероятность соответствующей гипотезы.
• Не путай P(A|Hᵢ) с P(Hᵢ|A).