"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Условная вероятность показывает, как меняется оценка события, если известно, что другое событие уже произошло. Для её вычисления рассматривают только исходы, подходящие под это условие. Независимые события, напротив, не меняют вероятности друг друга: вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей. Эти понятия помогают находить вероятности цепочек испытаний — например, при вытаскивании шаров без возвращения или нескольких подбрасываниях монеты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Условная вероятность события A при условии события B — вероятность того, что произойдёт A, если известно, что B уже произошло. При P(B) > 0 она определяется формулой P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Эта запись нужна, когда новая информация меняет набор исходов, среди которых мы оцениваем вероятность.
События A и B независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей: P(A∩B) = P(A)P(B). Иными словами, знание о наступлении одного события не влияет на вероятность другого. Проверка независимости позволяет понять, можно ли перемножать обычные вероятности.
Зависимые события — события, наступление одного из которых меняет вероятность другого. При P(B) > 0 это означает P(A|B) ≠ P(A). Такое различие важно учитывать, например, при вытаскивании предметов без возвращения: состав оставшихся предметов меняется.
Формула умножения вероятностей имеет вид P(A∩B) = P(B)P(A|B). Она позволяет найти вероятность того, что произойдут оба события, если известна вероятность B и вероятность A при условии B. Для независимых событий условная вероятность заменяется обычной, поэтому получается P(A∩B) = P(A)P(B).
Когда известно, что событие B произошло, все исходы вне B уже не рассматриваются. Поэтому для оценки A нужно смотреть только на часть пространства исходов, соответствующую B, и выяснить, какая её доля одновременно принадлежит A. Именно так появляется условная вероятность: она отвечает на вопрос не «сколько подходящих исходов среди всех?», а «сколько подходящих среди тех, где B произошло?».
В равновозможной модели вероятность события — отношение числа благоприятных исходов к числу всех рассматриваемых исходов. Если условием стало B, знаменателем служит число исходов B, а числителем — число исходов A∩B. Деление этих количеств даёт P(A|B); поскольку вероятность связана с долями исходов, в общем случае ту же связь записывают через вероятности: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
Если наступление B не меняет вероятность A, то P(A|B) = P(A). Подставим определение условной вероятности: P(A∩B)/P(B) = P(A). При P(B) > 0 умножение обеих частей на P(B) приводит к равенству P(A∩B) = P(A)P(B), то есть к условию независимости. Так связь между условной вероятностью и независимостью получается непосредственно из определений.
Для зависимых событий вероятность совместного наступления находят по формуле умножения: P(A∩B) = P(B)P(A|B). Здесь нельзя без проверки заменить условную вероятность на P(A), потому что знание о B могло изменить шанс A. Например, после извлечения белого шара без возвращения доля белых шаров в урне становится другой, и вероятность следующего белого шара меняется.
При последовательности из нескольких испытаний рассуждение повторяют для каждого шага: вероятность всей цепочки равна вероятности первого события, умноженной на вероятность второго при первом, затем на вероятность третьего при первых двух и так далее. Условие на предыдущие события необходимо, потому что оно описывает ситуацию, в которой происходит очередной шаг. Если испытания независимы, эти условные вероятности совпадают с обычными вероятностями соответствующих событий, и вычисление упрощается.
| Что рассматривается | Определение или формула | Как проверить или применить |
|---|---|---|
| Условная вероятность A при условии B | P(A|B) = P(A∩B)/P(B) | Ограничить исходы событием B; требуется P(B) > 0. |
| Независимость событий A и B | P(A∩B) = P(A)P(B) | Сравнить вероятность пересечения с произведением вероятностей. |
| Совместная вероятность зависимых событий | P(A∩B) = P(B)P(A|B) | Учесть, как условие B изменило вероятность A. |
| Совместная вероятность независимых событий | P(A∩B) = P(A)P(B) | Перемножить обычные вероятности, если независимость установлена. |
| Условие применимости формулы P(A|B) | P(B) > 0 | Если вероятность условия нулевая, делить на неё нельзя. |
Сначала определите, какое событие уже произошло: оно задаёт условие и знаменатель для условной вероятности. Затем выберите формулу совместной вероятности, проверив, независимы ли события. Таблица помогает не путать условную вероятность с вероятностью пересечения.
Задача 1. Из колоды в 36 карт наугад вынули одну карту. Найдите вероятность того, что карта — туз, если известно, что она красная.
Ответ: 1/9. Считать нужно среди красных карт, а не среди всех 36 карт.
Задача 2. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Два шара вынимают последовательно без возвращения. Найдите вероятность того, что оба белые, и выясните, независимы ли события «первый шар белый» и «второй шар белый».
Ответ: вероятность двух белых — 3/10; события зависимы, потому что после первого белого доля белых шаров в урне уменьшается.
Задача 3. Монету подбрасывают дважды. A — при первом подбрасывании выпал орёл, B — при втором выпал орёл. Найдите P(A∩B), проверьте независимость и сопоставьте с вероятностью двух орлов при последовательных подбрасываниях.
Ответ: P(A∩B) = 1/4. Это совпадает с вероятностью двух орлов при последовательном подсчёте: (1/2)·(1/2) = 1/4.
Ошибка — считать P(A|B) равной P(A∩B), забывая разделить на P(B). Её допускают, когда путают совместное наступление событий с долей подходящих исходов внутри B. Проверьте себя по формуле: условная вероятность должна быть равна P(A∩B)/P(B), если P(B) > 0.
Ошибка — переставлять события и считать P(A|B) и P(B|A) одинаковыми. Условия задают разные группы исходов, поэтому значения могут не совпадать. Чтобы проверить вычисление, прочитайте запись словами: после вертикальной черты стоит именно то событие, которое уже произошло.
Ошибка — объявлять события независимыми только потому, что они связаны с разными испытаниями. Разные испытания могут влиять друг на друга, например, если предметы вытаскивают без возвращения. Проверьте независимость по равенству P(A∩B) = P(A)P(B) или сравните P(A|B) и P(A).
Ошибка — применять формулу P(A|B) = P(A∩B)/P(B) при P(B) = 0. В таком случае знаменатель равен нулю, и деление невозможно; условную вероятность по этой формуле определить нельзя. Перед вычислением проверьте, что событие-условие имеет положительную вероятность.
Для этой темы нужны понятия случайного события, вероятности события и пересечения событий, а также умение считать вероятности в равновозможной модели. Пересечение A∩B означает, что произошли оба события, и именно оно входит в формулы условной вероятности и умножения. Полученные формулы используют в задачах о последовательных испытаниях, где результат одного шага может влиять на следующий. Они также становятся основой для изучения формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Чем условная вероятность отличается от обычной?
Обычная вероятность оценивает событие среди всех возможных исходов. Условная вероятность оценивает его среди исходов, при которых уже произошло заданное событие B, поэтому пространство исходов сужается.
Почему P(A|B) и P(B|A) обычно не равны?
В первом случае рассматриваются исходы события B, а во втором — исходы события A. Эти множества могут иметь разный размер и по-разному пересекаться, поэтому условные вероятности обычно различаются.
Как проверить, независимы ли два события?
Сравните P(A∩B) с произведением P(A)P(B). События независимы тогда и только тогда, когда эти величины равны; если P(B) > 0, можно также проверить, что P(A|B) = P(A).
Могут ли несовместные события быть независимыми?
Если два события несовместны и оба имеют положительную вероятность, независимыми они быть не могут: P(A∩B) = 0, но P(A)P(B) > 0. Исключение — случай, когда вероятность хотя бы одного из событий равна нулю.
Как найти вероятность нескольких событий, происходящих последовательно?
Используйте формулу умножения: вероятность всей цепочки равна произведению вероятностей каждого следующего события при условии, что предыдущие уже произошли. Если испытания независимы, условные вероятности можно заменить обычными.
§ 74. Условная вероятность. Независимые события
