"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Условная вероятность показывает, насколько вероятно событие A, если известно, что событие B уже произошло. Она помогает решать задачи, в которых результат одного шага меняет условия следующего, например при извлечении шаров без возвращения. Для совместного наступления событий используют теорему умножения. Если наступление одного события не меняет вероятность другого, события независимы, и вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Условная вероятность — вероятность события A при условии, что событие B уже произошло; её обозначают P(A|B) и определяют при P(B) > 0. Вертикальная черта означает, что мы учитываем дополнительную информацию о результате опыта. Это понятие нужно, когда известный результат сужает множество возможных исходов.
Независимые события — события A и B, наступление одного из которых не изменяет вероятность другого. Например, если результат первого опыта никак не влияет на условия второго, вероятности могут оставаться прежними. Понятие независимости помогает понять, можно ли перемножать обычные вероятности событий.
Теорема умножения вероятностей задаёт правило вычисления вероятности совместного наступления событий: P(A∩B) = P(B)·P(A|B). Здесь A∩B означает, что произошли одновременно и A, и B. Формула нужна для последовательных действий, когда вероятность следующего результата зависит от уже полученного.
Зависимые события — события, для которых наступление одного изменяет вероятность наступления другого; обычно P(A|B) ≠ P(A). Так происходит, например, при извлечении шара без возвращения: состав оставшихся шаров меняется. Различение зависимых и независимых событий подсказывает, какие вероятности использовать в расчёте.
Если известно, что B произошло, исходы за пределами B исключаются: они противоречат условию задачи. Поэтому условную вероятность A оценивают не среди всех исходов опыта, а только среди тех, которые совместимы с B. Это и есть причина, по которой условие меняет пространство рассматриваемых исходов.
При равновозможных исходах доля исходов, благоприятных для A внутри B, равна числу исходов A∩B, делённому на число исходов B. Если каждую из этих численностей разделить на общее число исходов опыта, получим P(A∩B)/P(B). Так возникает формула P(A|B) = P(A∩B)/P(B), причём деление возможно только при P(B) > 0.
Чтобы найти вероятность того, что произойдут и B, и A, сначала учитывают вероятность попасть в B, а затем — вероятность A среди случаев, где B уже случилось. Поэтому эти два множителя дают вероятность совместного результата: P(A∩B) = P(B)·P(A|B). Порядок можно поменять: также верно P(A∩B) = P(A)·P(B|A), если соответствующие условные вероятности определены.
Если условие B не меняет вероятность A, то P(A|B) = P(A). Подставив это равенство в теорему умножения, получим P(A∩B) = P(B)·P(A), то есть произведение обычных вероятностей. Поэтому равенство условной и безусловной вероятностей служит способом распознать независимость, когда P(B) > 0.
Независимость не означает, что два события не могут произойти вместе: они могут наступить одновременно, причём вероятность пересечения обычно положительна. Несовместные события, напротив, по определению не происходят одновременно, поэтому P(A∩B) = 0. Если их вероятности положительны, произведение P(A)·P(B) больше нуля и не равно вероятности пересечения, значит, такие события зависимы.
| Понятие или условие | Обозначение | Формула или критерий | Смысл |
|---|---|---|---|
| Условная вероятность события A при условии B | P(A|B) | P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B) > 0 | Вероятность A среди случаев, где произошло B |
| Совместное наступление событий A и B | A∩B | События A и B произошли одновременно | Пересечение событий |
| Теорема умножения вероятностей | P(A∩B) | P(A∩B) = P(B)·P(A|B) | Вероятность совместного наступления |
| Независимость событий A и B | A и B независимы | P(A∩B) = P(A)·P(B) | Наступление одного не меняет вероятность другого |
| Несовместность событий A и B | A∩B = ∅ | P(A∩B) = 0 | События не могут произойти одновременно |
| Связь независимости с условной вероятностью | P(A|B) = P(A) | При P(B) > 0 | Условие B не меняет вероятность A |
Сначала определите, что именно известно: наступление B, совместное наступление A и B или независимость событий. Затем выберите соответствующую строку и проверьте условие P(B) > 0, если используете условную вероятность. Таблица также помогает не путать независимость с несовместностью.
В коробке 5 белых и 3 чёрных шара; первым вынули белый и не вернули его. Найдём вероятность того, что второй шар тоже белый. После первого извлечения осталось 7 шаров, из них 4 белых, поэтому известный результат меняет условия второго шага.
Обозначим B событие «первый шар белый», а A — «второй шар белый». Нужно найти P(A|B), потому что B уже произошло.
После извлечения белого остаются 4 белых шара из 7. Поэтому P(A|B) = 4/7.
Проверим здравый смысл: вероятность меньше единицы, а белых шаров стало на один меньше, чем было сначала. Значит, ответ учитывает изменение состава коробки.
Ответ: 4/7.
Событие A — выпало чётное число, B — число больше 3. Все шесть исходов равновозможны. Перечислим подходящие исходы: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}, а A∩B = {4, 6}.
При условии B остаются три исхода, два из которых чётные. Поэтому P(A|B) = 2/3.
При условии A возможны 2, 4 и 6, причём два числа больше 3. Значит, P(B|A) = 2/3.
Без условия P(A) = 3/6 = 1/2, а P(B) = 3/6 = 1/2. Поскольку P(A|B) = 2/3 не равно P(A), события зависимы.
Ответ: P(A|B) = 2/3, P(B|A) = 2/3; события зависимы.
В урне 4 красных и 6 синих шаров. Найдём вероятность сначала вынуть красный, затем синий, сравнив два способа: первый шар оставляют вне урны или возвращают. Обозначим события первого красного шара через A, второго синего — через B.
Без возвращения после красного остаётся 9 шаров, из них 6 синих. По теореме умножения P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = 4/10·6/9 = 4/15.
При возвращении в урне перед вторым извлечением снова 10 шаров, в том числе 6 синих. Тогда P(A∩B) = 4/10·6/10 = 6/25.
Вероятности различаются, потому что без возвращения первый результат меняет состав урны. При возвращении состав восстанавливается, поэтому вероятность второго цвета не зависит от первого извлечения.
Ответ: без возвращения — 4/15, с возвращением — 6/25.
Ошибка: записывают P(A|B) = P(A)/P(B). В этой формуле забыто пересечение: в числителе должна стоять вероятность того, что произошли и A, и B, то есть P(A∩B). Ошибка возникает из-за неверного переноса величин в формуле. Проверьте запись выводом из P(A∩B) = P(B)·P(A|B).
Ошибка: используют формулу условной вероятности при P(B) = 0. Если вероятность B равна нулю, событие B не может наступить, поэтому условие «B произошло» невозможно и деление на P(B) недопустимо. Перед вычислением проверьте знаменатель. Если он равен нулю, формула в таком виде неприменима.
Ошибка: считают независимыми события из разных испытаний, не проверяя влияние результатов. Разные по времени события могут быть зависимыми, например при извлечении шаров без возвращения. Ошибку допускают, принимая порядок действий за доказательство независимости. Проверьте, меняется ли P(A) при известном B, то есть сравните P(A|B) и P(A).
Ошибка: путают независимость с несовместностью. Несовместные события не могут наступить вместе, а независимые могут; если вероятности несовместных событий положительны, их пересечение имеет вероятность 0, тогда как произведение вероятностей положительно. Различие легко проверить по формулам для P(A∩B). Не называйте события независимыми только потому, что они не происходят одновременно.
Для этой темы нужны классическое определение вероятности, операции над событиями, понимание пересечения событий и вероятность противоположного события. Условная вероятность продолжает изучение схем последовательных испытаний и помогает анализировать выбор без возвращения и с возвращением. В дальнейшем условные вероятности и независимость используют в схеме Бернулли и формуле полной вероятности. Эти понятия также нужны при изучении математической статистики.
Почему условная вероятность считается только среди исходов события B?
После того как B произошло, исходы, несовместимые с B, уже не могут быть результатом опыта. Поэтому рассматривают только исходы внутри B и выясняют, какая их доля также приводит к A.
Чем условная вероятность отличается от обычной вероятности?
Обычная вероятность оценивает событие среди всех возможных исходов опыта. Условная вероятность оценивает его при дополнительной информации: известно, что произошло событие B.
Как быстро проверить, являются ли два события независимыми?
Если P(B) > 0, сравните P(A|B) и P(A): равенство означает независимость A и B. Также можно проверить формулу P(A∩B) = P(A)·P(B).
Могут ли несовместные события быть независимыми?
Если оба несовместных события имеют положительные вероятности, независимыми они быть не могут. Несовместность означает P(A∩B) = 0, а для независимости произведение P(A)·P(B) должно быть равно вероятности пересечения.
Почему при извлечении шара без возвращения вероятности меняются?
Извлечённый шар не возвращают в урну, поэтому после первого шага меняются общее число шаров и их состав. Следовательно, вероятность цвета второго шара зависит от результата первого извлечения.
13.2. Условная вероятность. Независимые события
