13.1. Относительная частота события

Определения и обозначения

Испытание — это повторяемый опыт, в каждом проведении которого наблюдают, произошло ли выбранное событие. Например, один бросок монеты можно считать испытанием, а выпадение герба — событием. Повторяемость позволяет сравнивать результаты одинаковых опытов. Без неё нельзя осмысленно говорить о доле появлений события в серии.

Частота события — число испытаний, в которых событие произошло; это число обычно обозначают буквой m. Если герб выпал в 7 бросках, частота выпадения герба равна 7. Частота отвечает на вопрос, сколько раз событие наблюдалось. Она нужна, чтобы затем сравнить число появлений с общим числом опытов.

Относительная частота события — отношение числа его появлений к общему числу испытаний. Если число испытаний обозначить n, то относительная частота события A равна W(A) = m/n. Она показывает не просто количество случаев, а долю успешных испытаний. Поэтому её удобно сравнивать для серий разной длины.

Статистическая вероятность — приближённая оценка вероятности события, полученная по его относительной частоте при большом числе испытаний. Например, можно оценить вероятность брака, проверив много изделий. Такая оценка основана на наблюдениях, а не на точном теоретическом подсчёте. Она помогает судить о случайном событии, когда его вероятность заранее неизвестна или трудно вычисляется.

Как это устроено

Чтобы найти относительную частоту, недостаточно просто заметить, что событие произошло: нужно знать, сколько всего было возможностей ему произойти. Поэтому проводят несколько одинаковых испытаний и записывают два числа: общее число опытов n и число появлений события m. Если условия опытов различаются, сравнение теряет смысл: например, нельзя напрямую объединять броски разных монет с разными правилами. Точный подсчёт обоих чисел превращает наблюдение в измеримую долю.

Из определения частоты известно, что m показывает число успешных испытаний, а n — всю серию. Доля находится делением части на целое, поэтому получаем W(A) = m/n. Например, если событие произошло 6 раз из 15, его относительная частота равна 6/15 = 0,4. Это значит, что событие наблюдалось в 40% испытаний, а не что оно обязательно будет происходить именно так часто в любой следующей серии.

Событие не может произойти отрицательное число раз и не может появиться чаще, чем проводились испытания. Значит, его частота m удовлетворяет условию 0 ≤ m ≤ n. При делении на положительное n это даёт 0 ≤ W(A) ≤ 1. Границы тоже возможны: ноль получается, если событие не произошло ни разу, а единица — если оно произошло во всех опытах.

Если провести новую серию испытаний, число появлений может измениться, поэтому изменится и отношение m/n. Например, в одной короткой серии герб может выпадать чаще, чем в другой, даже если монета та же. Такие колебания вызваны случайностью отдельных исходов. При большом числе повторений относительная частота обычно колеблется около некоторого значения и становится менее чувствительной к нескольким отдельным результатам.

Поэтому относительную частоту используют как приближённую оценку вероятности: чем больше наблюдений, тем обычно надёжнее оценка. Например, доля бракованных изделий в большой проверенной партии помогает предположить долю брака в похожей партии. Но это не гарантирует точного совпадения: следующая выборка может дать другую долю, а проверенные изделия могут не полностью представлять всю партию. Точную вероятность и статистическую оценку важно различать.

Частота и относительная частота события

Сначала определите, какое число в условии является общим количеством испытаний n, а какое — частотой события m. Затем выберите нужную строку: частота остаётся целым числом, а относительная частота находится делением. Последняя строка напоминает, что полученная доля оценивает вероятность, но не обязательно совпадает с ней точно.

Разбор задач

Броски монеты

При 20 бросках монеты герб выпал 11 раз. Найдите частоту и относительную частоту выпадения герба. Здесь событие A — выпадение герба, а вся серия состоит из 20 одинаковых испытаний. Сначала отделим число появлений от общего числа бросков.

1. Частота события равна числу выпадений герба: m = 11.
2. Общее число испытаний n = 20, поэтому подставляем числа в формулу: W(A) = m/n = 11/20.
3. Вычисляем: 11/20 = 0,55, то есть герб выпал в 55% бросков.

Ответ: частота равна 11, относительная частота равна 0,55.

Оценка доли брака

В 600 проверенных изделиях обнаружили 18 бракованных. Оцените относительную частоту брака и число бракованных изделий среди 2000 изделий при сохранении той же доли. Сначала найдём долю брака в проверенной группе, потому что именно она служит оценкой для большей партии. Затем применим эту долю к 2000 изделиям.

1. Частота брака m = 18, число проверенных изделий n = 600.
2. Относительная частота: W(A) = 18/600 = 0,03, то есть 3%.
3. Если в 2000 изделиях доля такая же, ожидаемое число бракованных равно 0,03 · 2000 = 60.

Ответ: относительная частота брака — 0,03, или 3%; среди 2000 изделий можно ожидать примерно 60 бракованных. Это именно оценка, а фактическое количество может отличаться.

Две серии бросков кости

В двух сериях бросков игральной кости было 30 и 300 испытаний, а относительные частоты выпадения шестёрки различаются. Объясните, почему это возможно и какая серия обычно даёт более устойчивую оценку. Событие в обеих сериях одно и то же, но его случайные появления распределяются по броскам неравномерно. Поэтому наблюдаемые доли не обязаны совпадать.

1. В каждой серии относительную частоту находят отдельно: число выпавших шестёрок делят на число бросков этой серии.
2. Результаты отдельных бросков случайны, поэтому короткая серия из 30 бросков может дать заметно отличающуюся долю.
3. Серия из 300 бросков обычно устойчивее: отдельный необычный результат меньше влияет на общую долю.

Ответ: различие частот возможно из-за случайных колебаний; обычно более устойчивую оценку даёт серия из 300 бросков. Это не означает, что её значение обязано быть точным или совпасть с другой серией.

Типичные ошибки

Делят число испытаний на число появлений. Так получают n/m, а не долю испытаний с событием. Ошибка возникает, если не проследить, что именно считается частью и что целым. Проверка простая: в формуле относительной частоты сверху должно стоять число появлений m, снизу — общее число испытаний n.

Путают частоту и относительную частоту. Частота — целое количество появлений, а относительная частота — отношение этого количества к числу испытаний. Их смешивают, потому что обе величины описывают одно событие. Проверьте ответ по единицам смысла: частота может быть 11 случаев, а относительная частота — 0,55 или 55%.

Считают относительную частоту точной вероятностью. Доля получена из конкретных наблюдений, поэтому при другой серии она может измениться. Такое заблуждение появляется, когда приближённую оценку принимают за гарантированное свойство каждого опыта. Уточните, что именно найдено: теоретическая вероятность или относительная частота по данным.

Получают относительную частоту меньше 0 или больше 1. Это невозможно, потому что число появлений m не бывает отрицательным и не превосходит общего числа испытаний n. Ошибка обычно связана с неверным делением или перепутанными числами. Проверьте условия 0 ≤ m ≤ n и итоговую границу 0 ≤ W(A) ≤ 1.

Связь с другими темами

Для работы с относительной частотой нужны понятия случайного опыта, события и вероятности, а также умение находить отношение двух чисел. Если эти понятия знакомы, формула W(A) = m/n связывает результат наблюдения с числовой оценкой. В свою очередь, относительная частота позволяет оценивать вероятность по реальным данным. Поэтому она используется в статистике, обработке данных и анализе случайных явлений.

Что запомнить

• Частота события — число испытаний, в которых оно произошло.
• Относительная частота равна отношению частоты события к числу испытаний.
• Формула относительной частоты: W(A) = m/n.
• Относительная частота принимает значения от 0 до 1 включительно.
• Результат одной серии испытаний не определяет точную вероятность события.
• При большом числе испытаний относительная частота обычно становится более устойчивой.