§ 73. Случайные события. Классическое определение вероятности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, но описывается набором возможных исходов. Например, при броске кубика заранее неизвестно, какое число выпадет. Это понятие помогает отделить ситуацию с несколькими возможными результатами от опыта с заранее известным итогом.

Элементарный исход — один из результатов опыта, который нельзя разделить на более простые результаты этого опыта. Для одного броска кубика элементарными исходами служат числа от 1 до 6. Их перечисляют, чтобы точно определить, какие результаты могут произойти.

Случайное событие — результат опыта, состоящий в наступлении одного или нескольких элементарных исходов; событие A обозначают заглавной латинской буквой. Например, событие «выпало чётное число» объединяет исходы 2, 4 и 6. Такое описание позволяет проверять событие по результату опыта.

Классическая вероятность события A — отношение числа исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу равновозможных исходов. Если благоприятных исходов m, а всех исходов n, то P(A) = m/n. Это определение превращает подсчёт исходов в численную оценку шанса события.

Как это устроено

Сначала перечисляют все элементарные исходы опыта. Список должен быть полным, чтобы ни один возможный результат не потерялся, и без повторов, чтобы исходы не учитывались несколько раз. Кроме того, при каждом проведении опыта должен реализоваться ровно один исход из списка. Иначе набор не описывает опыт корректно, а подсчёт вероятности даст неверный результат.

Событию соответствует множество элементарных исходов: оно наступает, если реализовался хотя бы один исход из этого множества. Например, для события «выпало не меньше пяти» при броске кубика подходят исходы 5 и 6. Если множество пустое, подходящего исхода нет и событие невозможно; если в него входят все исходы, событие произойдёт обязательно. Такое представление делает события удобными для сравнения и подсчёта.

Классическое определение работает лишь при конечном числе равновозможных исходов. Равновозможность означает, что у каждого элементарного исхода одинаковый шанс; например, для правильного кубика нет оснований считать одну грань предпочтительнее другой. Если же шансы различаются, количество исходов само по себе не показывает вероятность: два исхода могут иметь разный вклад в шанс события. Поэтому сначала проверяют условия модели, а уже затем применяют формулу.

Чтобы вычислить вероятность, обозначают число всех исходов буквой n, а число благоприятных событию — буквой m. Затем находят отношение P(A) = m/n: числитель показывает, сколько результатов подходит условию, а знаменатель — сколько результатов вообще возможно. При необходимости дробь сокращают или переводят в десятичную дробь. До вычислений полезно записать сами исходы или объяснить способ их подсчёта.

Число благоприятных исходов не может быть отрицательным и не может превосходить число всех исходов: 0 ≤ m ≤ n. При делении на положительное n это даёт границы 0 ≤ P(A) ≤ 1. Для невозможного события m = 0, поэтому вероятность равна 0; для достоверного m = n, поэтому вероятность равна 1. Эти границы служат быстрой проверкой вычислений.

События и классическая вероятность

Пользуйся таблицей как планом решения: сначала определи исходы и событие, затем найди n и m. Формулу из строки о вероятности применяй только после проверки равновозможности исходов. Последняя строка помогает оценить, не противоречит ли ответ смыслу задачи.

Разбор задач

Задача 1

Игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа 6. Кубик считаем правильным, поэтому его грани равновозможны. Нужно сравнить число подходящих исходов со всеми возможными результатами броска.

1. Запишем элементарные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего исходов n = 6.
2. Условию «выпало число 6» удовлетворяет один исход, поэтому m = 1. По классическому определению P(A) = m/n = 1/6.

Ответ: 1/6.

Задача 2

Два раза подбрасывают монету. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Результаты нужно записывать парами: первая буква обозначает первый бросок, вторая — второй. Так мы не смешаем последовательности, в которых орёл выпал в разных бросках.

1. Перечислим исходы: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р), где О — орёл, Р — решка. При честной монете все четыре исхода равновозможны, значит, n = 4.
2. Ровно один орёл выпадает в исходах (О, Р) и (Р, О), поэтому m = 2. Тогда P(A) = 2/4 = 1/2.

Ответ: 1/2.

Задача 3

Из 12 карточек с номерами от 1 до 12 наугад выбирают одну. Найдите вероятность того, что её номер делится на 2 или на 3. Слово «или» означает, что подходит делимость хотя бы на одно из этих чисел. Номер, делящийся одновременно на 2 и на 3, всё равно остаётся одной карточкой.

1. Всего карточек 12, поэтому n = 12. Номера, делящиеся на 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12; делящиеся на 3: 3, 6, 9, 12.
2. Объединяем списки без повторов: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12. Числа 6 и 12 делятся на оба числа, но каждое учитывается только один раз; значит, m = 8.
3. Вычисляем P(A) = 8/12 = 2/3.

Ответ: 2/3.

Типичные ошибки

• Считать исходы равновозможными без основания. Ученик может применить формулу к любому списку результатов, хотя, например, у неправильного кубика грани могут выпадать с разной частотой. Ошибка возникает из-за того, что конечный список принимают за достаточное условие. Проверь, одинаков ли шанс у каждого элементарного исхода; если нет, простое отношение m/n не подходит.

• Не учитывать порядок результатов в составном опыте. При двух бросках последовательности (О, Р) и (Р, О) различаются тем, в каком броске выпал орёл. Их иногда объединяют, потому что в обеих есть одна решка и один орёл. Сверь запись с ходом опыта: если результаты относятся к разным этапам, укажи их порядок.

• Дважды считать пересечение при условии «или». Например, в задаче о делимости на 2 или на 3 число 6 входит в оба списка, но карточка с таким номером одна. Повтор возникает, когда складывают количества, не сверяя сами множества. Составь общий список и убери повторы, прежде чем находить m.

• Получить вероятность меньше 0 или больше 1. Такое невозможно, потому что благоприятных исходов не бывает меньше нуля и их не больше, чем всех исходов. Ошибка обычно указывает на неверный подсчёт или на применение формулы вне её условий. Проверь неравенства 0 ≤ m ≤ n и итоговую границу 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Связь с другими темами

Для работы с вероятностью нужны умения перечислять исходы, считать конечные наборы объектов и описывать события как множества. Комбинаторный подсчёт помогает быстро находить число всех и благоприятных исходов, особенно когда перечислять их по одному неудобно. Классическое определение становится основой для дальнейшего изучения свойств вероятности, независимых событий и более сложных моделей. Поэтому аккуратный подсчёт исходов важен и в следующих темах.

Что запомнить

• Событие наступает, если реализуется один из благоприятных ему исходов.
• В классической модели все элементарные исходы равновозможны.
• P(A) = m/n, где n — число всех исходов, m — число благоприятных.
• Число благоприятных исходов не превышает числа всех исходов.
• Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Вероятность невозможного события равна 0, достоверного — 1.