§ 72. Применения комплексных чисел

Определения и обозначения

Комплексная координата точки — запись точки комплексным числом z = x + iy. Действительная часть x откладывается по горизонтальной оси, а коэффициент y при i — по вертикальной мнимой оси. Такое обозначение позволяет работать с точками и векторами средствами алгебры.

Комплексное сопряжение переводит z = x + iy в z̄ = x − iy. На плоскости это отражение точки относительно действительной оси: абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Сопряжение удобно при преобразовании выражений и проверке симметрии.

Модуль комплексного числа — расстояние от соответствующей точки до начала координат: |z| = √(x² + y²). Формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами x и y. С помощью модуля находят длины и расстояния.

Аргумент комплексного числа — угол между положительным направлением действительной оси и лучом, задающим ненулевое число. Он обозначается arg z и определяется с точностью до 2π: если φ — один аргумент, то φ + 2πk, k ∈ Z, — все аргументы. Аргумент нужен для описания поворотов и умножения в тригонометрической форме.

Как это устроено

Точка z = x + iy задаёт радиус-вектор с координатами (x; y). Поэтому сложение z₁ + z₂ складывает соответствующие координаты и совпадает с правилом сложения радиус-векторов. Геометрические отношения можно переводить в равенства комплексных чисел, а затем проверять обычными алгебраическими вычислениями.

Пусть множитель имеет вид w = ρ(cos φ + i sin φ). При умножении z на w длина радиус-вектора умножается на ρ, потому что |zw| = |z||w|. Одновременно направление меняется на угол φ, поскольку аргументы при умножении складываются.

Сопряжение меняет знак мнимой координаты, поэтому отражает точку через действительную ось. Для двух точек z₁ и z₂ вектор между ними задаётся разностью z₂ − z₁, а его длина равна |z₂ − z₁|. Так можно записывать условия равенства расстояний без введения дополнительных координат.

Формула Муавра превращает возведение в степень в умножение модуля и аргумента: (ρ(cos φ + i sin φ))ⁿ = ρⁿ(cos nφ + i sin nφ). При решении zⁿ = 1 модуль корня должен быть равен 1, а аргумент — 2πk/n. Поэтому корни равномерно делят окружность на n дуг.

Удачный выбор начала координат и единицы длины делает вычисления короче. Центр окружности удобно поместить в начало, а один из её радиусов направить по действительной оси. Тогда симметрия, расстояния, повороты и вершины многоугольника выражаются простыми формулами.

Геометрический смысл операций с комплексными числами

Сначала определите, какую геометрическую величину описывает выражение: сумму, разность, модуль или умножение. Затем переходите к соответствующей строке и выбирайте удобную форму числа. Таблица особенно полезна при переводе условия задачи с языка геометрии на язык комплексных чисел.

Разбор задач

Расстояние между двумя точками

Условие. На комплексной плоскости точки A и B заданы числами z₁ = 1 + 2i и z₂ = 4 + 6i. Найдите расстояние AB и проверьте, равно ли оно 5.

1. Разность z₂ − z₁ = (4 + 6i) − (1 + 2i) = 3 + 4i задаёт вектор AB.
2. Его модуль равен |3 + 4i| = √(3² + 4²) = 5.
3. Полученное значение сравниваем с заданным числом 5. Равенство выполнено.

Ответ: AB = 5, поэтому расстояние действительно равно заданному числу.

Поворот умножением на i

Условие. Докажите, что преобразование z ↦ iz поворачивает каждую точку вокруг начала координат на прямой угол.

1. Число i можно записать как cos(π/2) + i sin(π/2), поэтому его модуль равен 1, а аргумент — π/2.
2. При умножении на i модуль точки не меняется, а её аргумент увеличивается на π/2.
3. Следовательно, расстояние до начала сохраняется, а луч поворачивается против часовой стрелки на 90°.

Ответ: z ↦ iz — поворот вокруг начала координат на π/2.

Вершины правильного многоугольника

Условие. Найдите комплексные координаты вершин правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность.

1. Вершины единичной окружности удобно искать среди решений zⁿ = 1, потому что расстояние от начала до каждой вершины должно быть равно 1.
2. По формуле Муавра решения имеют вид zₖ = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n), где k = 0, 1, …, n − 1.
3. Соседние аргументы отличаются на 2π/n, поэтому соответствующие точки делят окружность на равные дуги.

Ответ: числа zₖ задают вершины правильного n-угольника, равномерно расположенные на единичной окружности.

Типичные ошибки

Аргумент часто считают единственным числом, например записывают только φ. Но углы φ и φ + 2πk задают один и тот же луч, поэтому аргумент определяется неоднозначно. Проверяйте себя, добавляя целое число полных оборотов.

При умножении комплексных чисел иногда складывают модули. Правильно: модули перемножаются, а аргументы складываются, поскольку меняются одновременно длина и направление. Полезно предварительно записать числа в тригонометрической форме.

Формулу аргумента пытаются применять к числу 0. У нуля нет определённого направления луча, поэтому arg 0 не существует, хотя |0| = 0. Перед вычислением аргумента убедитесь, что число ненулевое.

Разность z₁ − z₂ и z₂ − z₁ различается знаком, и это иногда вызывает сомнение. Для расстояния ошибка не меняет результата, потому что |z₁ − z₂| = |z₂ − z₁|, но вектор направления меняется. Уточняйте, нужна ли длина или именно направленный вектор.

Связь с другими темами

Для работы нужны алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, модуль, аргумент, сопряжение и формула Муавра. Они связывают вычисления с координатами, длинами и углами.

Тема опирается на геометрию координатной плоскости: радиус-векторы, расстояние между точками и поворот. Комплексная запись объединяет эти понятия в единой системе обозначений.

Методы применяются при решении уравнений, изучении корней из единицы и доказательстве геометрических утверждений. Особенно удобно использовать их для симметричных фигур и правильных многоугольников.

Что запомнить

• Точку плоскости можно задавать комплексным числом.
• Расстояние между точками z₁ и z₂ равно |z₁ − z₂|.
• Умножение на число единичного модуля задаёт поворот.
• Умножение на ненулевое комплексное число сочетает поворот и изменение масштаба.
• Сопряжение отражает точку относительно действительной оси.
• Корни уравнения zⁿ = 1 расположены на единичной окружности равномерно.