"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Корень n-й степени из комплексного числа — это число, которое при возведении в степень n даёт исходное число. Для ненулевого комплексного числа таких корней ровно n: их модуль и аргументы находятся по специальной формуле. Корни равномерно распределены на окружности, поэтому их удобно не только вычислять, но и изображать. Эти знания помогают решать уравнения wⁿ = z и работать с корнями из единицы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комплексное число w называют корнем n-й степени из комплексного числа z, если wⁿ = z, где n — натуральное число. Например, если w³ = z, то w является корнем третьей степени из z. Определение переводит задачу извлечения корня в уравнение: нужно найти все числа, которые при возведении в указанную степень дают z.
Корнем n-й степени из единицы называют число w, удовлетворяющее равенству wⁿ = 1. Слово «единица» здесь означает комплексное число 1, а не произвольное число с модулем 1. Это понятие понадобится, когда нужно находить все решения уравнения wⁿ = 1 и понимать расположение таких чисел на плоскости.
Если z ≠ 0, у него ровно n различных корней n-й степени. Каждый из них — отдельное комплексное число, хотя при возведении в степень n все они дают одно и то же z. Поэтому ответ при извлечении корня из ненулевого комплексного числа обычно состоит не из одного значения, а из полного набора корней.
Корень n-й степени из нуля только один: это число 0, поскольку 0ⁿ = 0. Никакое ненулевое число не может дать ноль при возведении в натуральную степень. Этот случай рассматривают отдельно, не применяя формулу для ненулевого z.
Ненулевое комплексное число удобно записать в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z| — модуль, φ — аргумент. Формула Муавра показывает, что при возведении числа в степень n его модуль становится rⁿ, а аргумент — nφ. Причина в том, что длины при умножении комплексных чисел перемножаются, а углы поворота складываются. Поэтому wⁿ можно вычислять, отдельно рассматривая модуль и направление.
Пусть w — корень из z и w = ρ(cos θ + i sin θ). Тогда формула Муавра даёт wⁿ = ρⁿ(cos nθ + i sin nθ). Чтобы получилось z, модули должны совпасть: ρⁿ = r, откуда ρ = ⁿ√r. Направления тоже должны совпасть, но один и тот же аргумент можно записать как φ + 2πk, где k — целое число полных оборотов. Поэтому nθ = φ + 2πk, а аргументы корней имеют вид θ = (φ + 2πk)/n.
Объединив модуль и аргумент, получаем формулу всех корней: wₖ = ⁿ√r(cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), где k = 0, 1, …, n − 1. При увеличении k на n аргумент корня увеличивается на 2π, а значит, значение повторяется. Поэтому достаточно взять именно n последовательных значений k: они дают n различных корней, и ни один не пропущен.
Для соседних значений k аргумент меняется на 2π/n, тогда как модуль остаётся одним и тем же. На комплексной плоскости все корни поэтому лежат на окружности радиуса ⁿ√r с центром в начале координат. Равные угловые промежутки между ними означают, что корни являются вершинами правильного n-угольника. Такой вывод помогает проверить вычисления: точки должны быть распределены по окружности равномерно.
Если z = 1, то его модуль равен 1, а аргумент можно взять равным 0. Формула даёт корни с модулем 1 и аргументами 2πk/n, где k = 0, 1, …, n − 1. Значит, все корни n-й степени из единицы лежат на единичной окружности. При k = 0 получаем число 1, а остальные корни расположены вокруг него с равными промежутками.
| Случай | Модуль корней | Аргументы корней | Число различных корней |
|---|---|---|---|
| z = 0 | 0 | Аргумент не рассматривается | 1 |
| z ≠ 0, z = r(cos φ + i sin φ) | ⁿ√r | (φ + 2πk)/n, k = 0, 1, …, n − 1 | n |
| z = 1 | 1 | 2πk/n, k = 0, 1, …, n − 1 | n |
Сначала определите, равно ли исходное число нулю: для нуля ответ сразу известен. Для ненулевого числа запишите модуль и аргумент, а затем примените общую формулу. Строка для z = 1 — частный случай общей формулы, удобный для работы с корнями из единицы.
Ищем комплексные числа w, для которых w³ = 8. Хотя 8 — положительное действительное число, у него есть три комплексных корня, поэтому нельзя ограничиваться действительным корнем 2. Представим исходное число в тригонометрической форме и применим формулу для ненулевого числа.
Ответ: 2, −1 + i√3, −1 − i√3.
Число −16 находится на отрицательной части действительной оси, поэтому его аргумент равен π; также можно использовать −π. Возьмём φ = π, чтобы получить корни по формуле, и проверим их равномерное расположение. Модуль каждого корня будет одинаковым.
Ответ: √2 + i√2, −√2 + i√2, −√2 − i√2, √2 − i√2.
Исходное число уже задано в тригонометрической форме, поэтому остаётся определить модуль и аргументы корней. Поскольку степень равна шести, ожидаем шесть различных точек. Для изображения достаточно отметить общий радиус и найденные углы.
Ответ: √2(cos((π/3 + 2πk)/6) + i sin((π/3 + 2πk)/6)), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5; точки равномерно расположены на окружности радиуса √2.
Первая ошибка — указать лишь один корень ненулевого числа. Обычно это происходит, когда ученик переносит на комплексные числа привычный способ извлечения действительного корня. Проверьте ответ по правилу: если z ≠ 0, должно быть найдено n различных значений.
Вторая ошибка — забыть прибавить 2πk к аргументу исходного числа. Тогда в формуле останется только один аргумент корня и остальные решения потеряются. Чтобы проверить себя, запишите аргумент исходного числа как φ + 2πk и подставьте все нужные значения k.
Третья ошибка — взять k от 0 до n включительно и считать ответы различными. При k = n угол корня отличается от угла при k = 0 на 2π, поэтому точка совпадает. Проверка проста: используйте ровно n последовательных целых значений k, обычно от 0 до n − 1.
Четвёртая ошибка — подставить z = 0 в формулу для ненулевого числа. У нуля нет аргумента, поэтому такая подстановка не имеет смысла; к тому же формула опирается на положительный модуль r. Для проверки сначала выясните, равно ли исходное число нулю: в этом случае единственный корень — 0.
Для работы с корнями нужны алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, а также умение находить модуль и аргумент. Формула Муавра объясняет, почему при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается; правила действий с аргументами помогают записывать все варианты одного направления. Извлечение корней сводит уравнение wⁿ = z к поиску нескольких комплексных чисел, а корни из единицы дают важный частный случай этой задачи.
Почему у ненулевого комплексного числа n корней n-й степени?
Аргумент ненулевого числа можно записать как φ + 2πk, где k — целое число. После деления на n получаются n различных направлений на окружности; дальнейшие значения k повторяют их. Все корни имеют один и тот же модуль.
Зачем к аргументу прибавляют 2πk?
Аргументы φ и φ + 2πk задают одно и то же направление, потому что полный оборот равен 2π. При делении этих значений на n получаются разные направления корней. Если не учитывать 2πk, будет найден только один корень.
Почему достаточно рассматривать k от 0 до n − 1?
При k = n значение аргумента корня увеличивается на 2π, поэтому получается тот же корень, что и при k = 0. Аналогично повторяются значения при дальнейшем увеличении k. Значит, n последовательных значений k дают все корни без повторов.
Как расположены корни на комплексной плоскости?
Все корни ненулевого числа лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом ⁿ√|z|. Аргументы соседних корней различаются на 2π/n, поэтому они являются вершинами правильного n-угольника.
Сколько корней n-й степени имеет число 0?
У числа 0 ровно один корень n-й степени — само число 0. Действительно, равенство wⁿ = 0 возможно только при w = 0. Формулу для ненулевых чисел к этому случаю не применяют.
§ 71. Корень n-й степени из комплексного числа
