§ 70. Геометрическое представление и тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Определения и обозначения

Комплексная плоскость — плоскость, на которой числу z = x + iy соответствует точка с координатами (x; y). Здесь x — действительная часть, а y — коэффициент при мнимой единице i. Такое соответствие позволяет видеть комплексное число как точку и использовать геометрические способы рассуждения.

Модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до точки, изображающей число. Для z = x + iy его обозначают |z| и вычисляют по формуле √(x² + y²). Модуль показывает длину радиус-вектора и всегда неотрицателен.

Аргумент комплексного числа — угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором ненулевого числа. Его обычно обозначают φ; поскольку полный оборот равен 2π, аргументы одного числа отличаются на 2πk, где k ∈ Z. Аргумент нужен, чтобы описать направление числа на плоскости.

Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль числа, а φ — его аргумент. Она объединяет расстояние точки от начала координат и направление радиус-вектора. Форму применяют только для ненулевого числа, поэтому r > 0.

Как это устроено

У комплексного числа z = x + iy есть две независимые составляющие: действительная x и мнимая y. На координатной плоскости одна координата задаёт смещение по горизонтали, другая — по вертикали. Поэтому естественно сопоставить x горизонтальной оси, а коэффициент при i — вертикальной. Получается точка (x; y), и по её положению можно восстановить обе части числа.

Соединим полученную точку с началом координат: этот отрезок называют радиус-вектором. Его горизонтальная и вертикальная проекции равны x и y, поэтому вместе с осями они образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен x² + y², значит длина радиус-вектора, то есть модуль, равна √(x² + y²). Геометрическое определение модуля тем самым приводит к вычислимой формуле.

Направление радиус-вектора задают углом φ, отсчитываемым от положительной полуоси действительных чисел. Если к этому углу прибавить полный оборот 2π или несколько полных оборотов, направление не изменится. Поэтому аргумент записывают как φ + 2πk, где k — любое целое число. У нуля радиус-вектор не имеет направления, так что аргумент определяют только для ненулевых чисел.

В полярных координатах точка задаётся расстоянием r от начала и углом φ. Проекции радиус-вектора на оси равны r cos φ и r sin φ, поэтому x = r cos φ, y = r sin φ. Подставив эти выражения в x + iy, получаем z = r(cos φ + i sin φ). Обратный переход тоже прост: из тригонометрической формы находят обе координаты, а значит, алгебраическую запись.

Тригонометрическая форма требует r > 0: при r = 0 точка совпадает с началом координат, а любое направление одинаково подходит радиус-вектору нулевой длины. Чтобы выбрать аргумент ненулевого числа, сначала определяют четверть по знакам x и y. Затем находят угол, у которого косинус имеет знак x, а синус — знак y. Например, одного тангенса недостаточно: одинаковое значение тангенса встречается в противоположных четвертях.

Связь алгебраической и геометрической записи комплексного числа

Таблица помогает переходить от записи к изображению и обратно: координаты задают действительную и мнимую части, а длина и угол — модуль и аргумент. При переходе к тригонометрической форме проверьте, что r — положительное расстояние, а выбранный угол соответствует четверти точки.

Разбор задач

1. Изобразите z = 3 − 4i и найдите его модуль

Действительная часть числа равна 3, а коэффициент при i равен −4. Значит, точка находится правее начала координат и ниже действительной оси, то есть в IV четверти. Модуль — длина радиус-вектора от начала координат до этой точки.

1. Запишем координаты: z = 3 − 4i соответствует точке (3; −4).
2. Отметим её на плоскости: от начала координат нужно пройти 3 единицы вправо и 4 вниз.
3. Вычислим расстояние по теореме Пифагора: |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5.

Ответ: точка (3; −4) в IV четверти, модуль числа равен 5.

2. Запишите z = −1 + i√3 в тригонометрической форме

Здесь x = −1, y = √3, поэтому точка лежит во II четверти. Сначала найдём расстояние до начала координат, а затем подберём угол, для которого косинус отрицателен, а синус положителен. Это позволяет не ошибиться с направлением радиус-вектора.

1. Вычислим модуль: r = √((−1)² + (√3)²) = √4 = 2.
2. Найдём значения косинуса и синуса: cos φ = x/r = −½, sin φ = y/r = √3/2.
3. Этим значениям во II четверти соответствует φ = 2π/3. Все аргументы имеют вид 2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
4. Подставим r и φ в форму z = r(cos φ + i sin φ).

Ответ: z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).

3. Переведите z = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) в алгебраическую запись и изобразите число

В тригонометрической форме множитель перед скобками — модуль r, а угол указан внутри функций. Чтобы вернуться к алгебраической форме, найдём координаты x и y по формулам x = r cos φ и y = r sin φ. Угол π/6 находится в первой четверти, поэтому обе координаты должны быть положительными.

1. Определим параметры: r = 2, φ = π/6.
2. Найдём действительную часть: x = 2 cos(π/6) = 2 · √3/2 = √3.
3. Найдём мнимую часть: y = 2 sin(π/6) = 2 · ½ = 1.
4. Запишем число как z = x + iy и отметим точку с координатами (√3; 1).

Ответ: z = √3 + i; изображающая точка — (√3; 1), она лежит в первой четверти.

Типичные ошибки

Считать аргумент единственным. Так происходит, если забыть, что поворот на полный круг не меняет направления. К любому аргументу ненулевого числа можно прибавить 2πk, k ∈ Z. Проверьте ответ: углы φ и φ + 2π должны задавать один и тот же луч.

Выбирать аргумент только по тангенсу. Тангенс не различает углы, которые отличаются на π, поэтому можно указать противоположное направление. Ошибку допускают, если не смотрят на знаки действительной и мнимой частей. Перед ответом определите четверть и проверьте знаки cos φ и sin φ.

Путать мнимую часть и коэффициент при i. В записи z = x + iy мнимая часть — число y, а не всё слагаемое iy. Поэтому точке соответствуют координаты (x; y), а не (x; iy). Для проверки отделите коэффициент при i и поставьте его на вертикальную ось.

Записывать ноль с произвольным аргументом. Это неверно, потому что аргумент описывает направление радиус-вектора, а у нуля вектор имеет нулевую длину и направления не задаёт. Путаница возникает из-за подстановки r = 0 в общую запись. Проверяйте условие формы: она предназначена для ненулевых чисел и требует r > 0.

Связь с другими темами

Перед изучением этой темы нужно уметь записывать комплексное число в виде x + iy, понимать координаты точки и применять теорему Пифагора. Эти знания объясняют, почему числу соответствует точка, а его модуль находится как расстояние от начала координат. Знаки координат помогают ориентироваться по четвертям и выбирать аргумент.

Модуль и аргумент особенно полезны при действиях с комплексными числами. При умножении и делении удобно работать с модулями и углами, а тригонометрическая форма упрощает возведение в степень и извлечение корней. Геометрическое представление помогает увидеть, как такие операции меняют длину и направление радиус-вектора.

Что запомнить

• Числу x + iy соответствует точка (x; y).
• Модуль числа — длина его радиус-вектора.
• Для ненулевого z аргумент определён с точностью до 2πk.
• Тригонометрическая форма имеет вид z = r(cos φ + i sin φ), где r > 0.
• Для перехода к алгебраической форме используют x = r cos φ и y = r sin φ.
• При выборе аргумента обязательно учитывают четверть комплексной плоскости.