"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Комплексные числа расширяют действительные числа так, чтобы уравнения вроде x² + 1 = 0 тоже имели решения. Число записывают как a + bi, где a и b действительны, а i² = −1. Для вычислений нужны правила действий, сопряжение и модуль. Главный результат темы — основная теорема алгебры: любой многочлен положительной степени имеет комплексный корень и раскладывается на линейные множители. Это помогает находить корни уравнений даже тогда, когда их нет среди действительных чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мнимая единица i — число, для которого i² = −1. Среди действительных чисел такого числа нет: квадрат действительного числа неотрицателен. Введение i позволяет работать с уравнениями, которые не имеют действительных решений.
Комплексное число записывают как z = a + bi, где a и b — действительные числа. Число a называют действительной частью, а b — мнимой частью z. Такая запись объединяет действительную и новую, мнимую составляющие и служит стандартной формой числа.
Числа a + bi и a − bi называют сопряжёнными. У них одинаковые действительные части, а мнимые части противоположны. Сопряжение удобно, в частности, при делении комплексных чисел.
Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен положительной степени имеет хотя бы один корень в комплексных числах. Более полный вывод состоит в том, что многочлен степени n можно разложить на n линейных множителей, считая корни с их кратностями. Так комплексные числа дают возможность разложить многочлен полностью.
Решение уравнения x² + 1 = 0 требует числа, квадрат которого равен −1, а в действительных числах такого числа нет. Поэтому вводят i с правилом i² = −1 и расширяют числовую систему до комплексных чисел. Это не отменяет действительные числа: каждое действительное число можно представить как a + 0i. Новое множество сохраняет обычные правила вычислений, но учитывает дополнительное правило для i.
Запись z = a + bi позволяет свести действия к работе с двумя действительными коэффициентами. Числа a + bi и c + di равны, когда a = c и b = d; иначе равенство невозможно из-за единственности записи. При сложении и вычитании складывают или вычитают отдельно коэффициенты при 1 и при i. При умножении раскрывают скобки, а возникающее i² заменяют на −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Сопряжение помогает упростить выражения, потому что произведение (a + bi)(a − bi) равно a² + b²: слагаемые с i взаимно уничтожаются. Модуль числа z = a + bi равен √(a² + b²), то есть неотрицательной длине, соответствующей этому числу. Чтобы разделить числа, дробь умножают сверху и снизу на сопряжённое знаменателя. Так знаменатель становится действительным, а результат можно привести к виду a + bi.
Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 формула корней остаётся применимой и при отрицательном дискриминанте D = b² − 4ac. Если коэффициенты действительны и D < 0, то √D = i√(−D), поэтому корни записываются как −b/(2a) ± i√(−D)/(2a). В них совпадает действительная часть и противоположны мнимые части. Значит, оба решения существуют в комплексных числах, хотя среди действительных их нет.
По основной теореме алгебры многочлен степени n имеет n комплексных корней с учётом повторений, и потому раскладывается на n линейных множителей. Корень, соответствующий повторяющемуся множителю, учитывают столько раз, какова его кратность; различных корней может оказаться меньше n. Если коэффициенты многочлена действительные, сопряжение не меняет их, поэтому вместе с невещественным корнем a + bi корнем будет a − bi. Именно поэтому невещественные корни такого многочлена образуют пары.
| Объект или свойство | Формулировка | Формула | Важное следствие или условие |
|---|---|---|---|
| Комплексное число | Сумма действительной и мнимой частей | z = a + bi | a, b ∈ ℝ; i² = −1 |
| Действительная и мнимая части | Коэффициенты при 1 и i | Re z = a, Im z = b | Мнимая часть — b, не bi |
| Равенство комплексных чисел | Равны соответствующие части | a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d | Запись числа единственна |
| Сложение и вычитание | Действуют отдельно с коэффициентами | (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i | Результат имеет вид a + bi |
| Умножение | Раскрывают скобки и используют i² = −1 | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i | (bi)² = −b² |
| Сопряжённое число | Мнимая часть меняет знак | z̄ = a − bi | z z̄ = a² + b² |
| Модуль комплексного числа | Неотрицательная длина числа | |z| = √(a² + b²) | |z|² = z z̄ |
| Деление комплексных чисел | Домножают числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя | (a + bi)/(c + di) · (c − di)/(c − di) | Знаменатель c² + d² ≠ 0 |
| Корни многочлена | Значения переменной, при которых многочлен равен нулю | P(α) = 0 | Корень может иметь кратность |
| Основная теорема алгебры | У многочлена положительной степени есть комплексный корень | P(x) = aₙ(x − z₁)…(x − zₙ) | Степень n; корни учтены с кратностью |
| Корни многочлена с действительными коэффициентами | Невещественные корни сопряжены | α = a + bi ⇒ ᾱ = a − bi | Коэффициенты многочлена действительны |
Сначала определите, какие части числа даны, затем выберите правило действия из таблицы. При делении отдельно проверьте, что знаменатель не равен нулю. В строках о многочленах различайте наличие корня и число различных корней: кратности тоже входят в подсчёт.
Нужно перемножить два комплексных числа и собрать действительную и мнимую части. Для этого раскрываем скобки, а каждое i² заменяем на −1. Проследим отдельно за членом без i и за коэффициентом при i.
Получили стандартную форму, в которой действительная часть равна 8, а мнимая часть равна −1. Быстрая проверка — повторно раскрыть скобки и убедиться, что отрицательный знак возник из-за i². Ответ: 8 − i.
Это квадратное уравнение с действительными коэффициентами, поэтому применим формулу корней. Сначала выясним знак дискриминанта: он покажет, достаточно ли действительных чисел. При отрицательном значении представим квадратный корень через i.
Корни — 2 + 3i и 2 − 3i; они сопряжены, что ожидаемо при действительных коэффициентах. Проверить решение можно подстановкой или по сумме и произведению: корни дают сумму 4 и произведение 13. Ответ: z₁ = 2 + 3i, z₂ = 2 − 3i.
Чтобы найти корни, решим уравнение x⁴ + 4 = 0. Удобно заметить разность квадратов: x⁴ + 4 = (x² + 2)² − 4x². После разложения найдём корни каждого квадратного множителя, а затем запишем линейные множители.
Каждый линейный множитель даёт один корень; все четыре числа различны, поэтому кратности равны 1. Сопряжённые пары здесь видны непосредственно: 1 ± i и −1 ± i. Ответ: корни 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i; разложение приведено выше.
Иногда i считают обычным действительным корнем из −1 и применяют к нему правила, не учитывая, что в действительных числах такого числа нет. В комплексных вычислениях смысл i задаётся правилом i² = −1, а не действительным извлечением корня. Проверяйте каждое преобразование, используя это правило и обычные алгебраические законы.
При возведении bi в квадрат можно забыть квадрат мнимой единицы и написать b². На самом деле (bi)² = b²i² = −b²; ошибка обычно появляется, когда коэффициент и i воспринимают как одно целое. Чтобы проверить знак, отдельно возведите в квадрат оба множителя.
При делении иногда домножают только числитель или неверно раскрывают произведение сопряжённых чисел. Домножать нужно и числитель, и знаменатель на одно и то же сопряжённое знаменателя, то есть на дробь, равную единице. Убедитесь, что знаменатель стал c² + d² и не содержит i.
Фраза «у многочлена степени n ровно n корней» может создать впечатление, что все корни различны. Теорема считает корни с кратностями, а повторяющийся корень записывается в разложении несколько раз. Проверка проста: число линейных множителей равно степени, но среди их корней могут быть совпадающие значения.
Для освоения темы нужны действительные числа, действия с многочленами, квадратные уравнения и дискриминант. Комплексные числа позволяют решать алгебраические уравнения и исследовать корни многочленов, когда действительных решений не хватает. Представление комплексных чисел на плоскости помогает увидеть их геометрические свойства. Далее они используются в показательной и тригонометрической формах, а также в дифференциальных уравнениях и прикладных моделях.
Почему нельзя считать мнимую единицу обычным числом, равным √(−1)?
В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому действительного числа с квадратом −1 нет. Запись i² = −1 вводит новый объект и задаёт правило вычислений; выражение √(−1) можно использовать как условное обозначение i только в комплексных числах.
Как быстро определить действительную и мнимую части комплексного числа?
Приведите число к виду a + bi. Тогда действительная часть равна a, а мнимая часть — коэффициенту b, а не всему слагаемому bi.
Зачем при делении комплексных чисел используют сопряжённое число?
Умножение знаменателя a + bi на сопряжённое a − bi превращает его в действительное число a² + b². Поэтому после такого умножения дробь можно записать в стандартном виде c + di.
Что означает кратность корня многочлена?
Корень имеет кратность k, если соответствующий линейный множитель входит в разложение многочлена k раз. Например, в разложении (x − 2)³ число 2 — корень кратности 3, но различных корней здесь только один.
Почему у многочлена с действительными коэффициентами невещественные корни идут парами?
Если коэффициенты действительные и число a + bi является корнем, то подстановка в многочлен согласуется с сопряжением. Поэтому корнем будет и a − bi. Такие корни образуют сопряжённую пару.
§ 69. Комплексные числа и многочлены. Основная теорема алгебры
