§ 68. Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи и арифметические действия над комплексными числами

Определения и обозначения

Комплексное число — число вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Два числа a + bi и c + di равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Это правило позволяет сравнивать комплексные числа по двум отдельным коэффициентам.

Мнимая единица — число i, для которого i² = −1. Она не является действительным числом, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Обозначение i помогает записывать корни отрицательных чисел и работать с ними по обычным алгебраическим правилам.

Алгебраическая форма комплексного числа — запись z = a + bi. Число a называется действительной частью и обозначается Re z, а число b — мнимой частью и обозначается Im z. Мнимая часть — это коэффициент при i, а не всё слагаемое bi.

Сопряжённые комплексные числа — числа a + bi и a − bi. Если первое обозначено z, то второе обозначают z̄; у них совпадают действительные части, а мнимые части противоположны. Сопряжение особенно полезно при делении, поскольку произведение числа на сопряжённое оказывается действительным.

Как это устроено

В действительных числах уравнение x² + 1 = 0 равносильно x² = −1, но квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Значит, для такого уравнения действительных чисел недостаточно. Вводят мнимую единицу i, удовлетворяющую условию i² = −1, и получают решения x = i и x = −i. Так расширяют числовую систему, не меняя привычных правил алгебры.

Комплексное число можно понимать как пару действительных чисел (a, b): первое число пары задаёт действительную часть, второе — коэффициент при i. Поэтому равенство a + bi = c + di требует совпадения обеих координат: a = c и b = d. Если бы совпадал только один коэффициент, числа всё равно могли бы различаться другой частью. Например, 2 + i и 2 + 3i не равны, хотя их действительные части одинаковы.

При сложении действительные части складывают с действительными, а коэффициенты при i — с коэффициентами при i. Получается (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; при вычитании аналогично получают (a − c) + (b − d)i. Это тот же принцип, что при приведении подобных слагаемых: 3x + 2x = 5x, только роль общего множителя здесь играет i. Разделение на две части сохраняет алгебраическую форму результата.

Для умножения раскрывают скобки по распределительному закону: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi². Затем заменяют i² на −1 и объединяют действительные слагаемые и слагаемые с i: (ac − bd) + (ad + bc)i. Поэтому результат снова имеет вид A + Bi. Если не раскрыть скобки полностью, можно потерять смешанные слагаемые adi и bci.

При делении нельзя делить отдельно действительные и мнимые части: такое действие не соответствует правилам для дробей. Чтобы сделать знаменатель действительным, числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряжённое знаменателю. Например, знаменатель c + di превращается в (c + di)(c − di) = c² + d², так как смешанные слагаемые взаимно уничтожаются, а i² = −1. Деление допустимо, если знаменатель не равен нулю; для c + di это означает, что c и d не равны нулю одновременно.

Арифметические действия над комплексными числами

В таблице a, b, c и d — действительные числа, z₁ = a + bi, z₂ = c + di. В строке деления условие z₂ ≠ 0 означает, что c и d не равны нулю одновременно. Чтобы применить формулу, подставьте коэффициенты и приведите результат к виду A + Bi.

Разбор задач

Задача 1. Записать число 3 − 2i в алгебраической форме и указать действительную и мнимую части. Решение: используем стандартный вид z = a + bi и сопоставляем коэффициенты. Число −2 перед i учитываем со знаком: мнимая часть может быть отрицательной, а само слагаемое −2i не является значением Im z.

1. Сравниваем 3 − 2i с a + bi: получаем a = 3 и b = −2.
2. Следовательно, Re z = 3, а Im z = −2.

Ответ: z = 3 − 2i; Re z = 3, Im z = −2.

Задача 2. Вычислить (2 + 3i) + (−1 + 4i) и (2 + 3i)(−1 + 4i). Решение: сначала сложим отдельно действительные части и коэффициенты при i. Для произведения раскроем скобки, а затем заменим i² на −1; так мы не потеряем смешанные слагаемые.

1. Сумма: (2 − 1) + (3 + 4)i = 1 + 7i.
2. Произведение: −2 + 8i − 3i + 12i².
3. Так как 12i² = −12, получаем −14 + 5i.

Ответ: сумма равна 1 + 7i, произведение равно −14 + 5i.

Задача 3. Вычислить (3 + 2i)/(1 − i) и представить ответ в алгебраической форме. Решение: сопряжённое к знаменателю 1 − i число — 1 + i. Умножаем на него и числитель, и знаменатель: значение дроби при этом не изменится, зато знаменатель станет действительным. Затем раскрываем скобки и приводим результат к виду a + bi.

1. ((3 + 2i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)).
2. Числитель: 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; знаменатель: 1 − i² = 2.
3. Делим каждую часть числителя на 2: (1 + 5i)/2 = ½ + 5/2i.

Ответ: ½ + 5/2i.

Типичные ошибки

Ошибка — считать Im(a + bi) равной bi, а не b. Так происходит потому, что мнимая часть записана рядом с i и их легко принять за одно выражение. Проверка: сравните запись с формой a + bi — Im z обозначает коэффициент перед i. Например, Im(3 − 2i) = −2.

Ошибка — заменять i² на 1 или оставлять i² в окончательном ответе. Часто это случается из-за привычки считать квадрат единицы равным единице, но i — не действительное число 1. Проверяйте каждую степень i отдельно: i² = −1. Ответ в алгебраической форме должен содержать только действительную часть и слагаемое с i.

Ошибка — при умножении перемножать только действительные части и только мнимые. Например, так теряются смешанные слагаемые, которые появляются при раскрытии скобок. Запишите все четыре произведения по распределительному закону и только после этого объединяйте подобные. В конце проверьте, что результат имеет вид A + Bi.

Ошибка — делить комплексные числа почленно или умножать дробь на число, не сопряжённое знаменателю. Такие действия не гарантируют действительного знаменателя и не следуют правилам деления дробей. Умножайте числитель и знаменатель именно на сопряжённое знаменателю число, а перед вычислением убедитесь, что знаменатель не равен нулю. Проверка: после умножения знаменатель должен иметь вид c² + d².

Связь с другими темами

Для работы с комплексными числами нужны действия с действительными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти навыки используются при каждом вычислении: коэффициенты обрабатываются отдельно, а i² заменяется на −1. Если уверенно выполнять такие преобразования, формулы действий становятся продолжением знакомой алгебры.

Комплексные числа расширяют множество действительных чисел и позволяют решать квадратные уравнения, у которых нет действительных корней. Например, уравнение x² + 1 = 0 имеет комплексные корни i и −i. Поэтому новая система чисел не отменяет действительные, а включает их как числа вида a + 0i.

Алгебраическая форма — отправная точка для дальнейшего изучения комплексных чисел. Позже число можно описывать через его модуль и аргумент, а также записывать в других формах. Умение выделять a и b пригодится, чтобы переходить между способами записи и выполнять более сложные вычисления.

Что запомнить

• Комплексное число записывают в виде a + bi, где a и b — действительные числа.
• Мнимая единица удовлетворяет равенству i² = −1.
• Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части.
• При сложении и вычитании отдельно действуют с действительными и мнимыми частями.
• При умножении используют распределительный закон и заменяют i² на −1.
• Для деления умножают числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.