"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Определённый интеграл позволяет находить площади фигур, ограниченных графиками, и объёмы тел, полученных вращением. Площадь под неотрицательным графиком равна интегралу функции, а площадь между кривыми — интегралу разности верхней и нижней функций. Объём тела вычисляют как интеграл площадей поперечных сечений. Главное — правильно определить границы, сравнить функции и выбрать вид сечения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь криволинейной трапеции — площадь фигуры, ограниченной графиком неотрицательной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. Она равна интегралу ∫ от a до b f(x) dx. Это основной случай применения интеграла к площади.
Площадь плоской фигуры — величина, которую находят интегрированием разности верхней и нижней функций. Если сверху расположена f(x), а снизу g(x), то площадь равна ∫ от a до b (f(x) − g(x)) dx. Такое представление позволяет работать с областями между двумя графиками.
Тело вращения — объёмная фигура, полученная вращением плоской области вокруг некоторой оси. При вращении каждый небольшой элемент области образует часть объёмного тела. Интеграл складывает объёмы бесконечно тонких слоёв или площади поперечных сечений.
Объём тела вращения вокруг оси абсцисс вычисляют интегралом ∫ от a до b π(f(x))² dx, если сечение перпендикулярно Ox является кругом радиуса f(x). Квадрат появляется из формулы площади круга πr². Пределы a и b задают крайние координаты области.
Чтобы понять формулу площади под графиком, отрезок [a; b] разбивают на множество маленьких частей. На каждой части кривую заменяют близким по размеру прямоугольником с высотой, примерно равной значению функции. Сумма площадей прямоугольников становится всё точнее при уменьшении ширины полос, а её пределом является определённый интеграл.
Для фигуры между двумя графиками рассматривают вертикальное сечение с фиксированной координатой x. Его длина равна разности ординат: верхняя точка имеет координату f(x), а нижняя — g(x), поэтому высота равна f(x) − g(x). Интегрирование этой высоты по всем значениям x складывает площади узких полос.
Если графики пересекаются, порядок функций сверху и снизу может измениться. В одной части промежутка f(x) может быть больше g(x), а в другой — наоборот, поэтому единая разность иногда даёт отрицательный результат. Сначала находят точки пересечения, затем разбивают промежуток и на каждом участке вычитают нижнюю функцию из верхней.
Объём тела вращения получают похожим способом, но складывают уже не площади полос, а объёмы тонких слоёв. При вращении вертикального отрезка вокруг Ox он образует круг или кольцо, перпендикулярное оси. Площадь такого сечения умножается на малую толщину, а интеграл складывает эти элементы от одного края тела до другого.
Пределы интегрирования выбирают по границам рассматриваемой области: это могут быть заданные прямые, нули функции или точки пересечения графиков. Переменная x удобна для вертикальных сечений, а y — для горизонтальных. От выбранных сечений зависит и формула: например, при вращении вокруг Oy методом оболочек появляется множитель 2πx.
| Что требуется найти | Подынтегральная функция | Границы интегрирования и условия |
|---|---|---|
| Площадь под графиком y = f(x) | f(x) | От a до b; f(x) ≥ 0 на отрезке |
| Площадь между графиками y = f(x) и y = g(x) | f(x) − g(x) | От a до b; f(x) ≥ g(x) на всём отрезке |
| Объём тела вращения вокруг оси Ox | π(f(x))² | От a до b; сечение перпендикулярно Ox — круг радиуса f(x) |
| Объём тела вращения вокруг оси Oy при задании радиуса через x | 2πx f(x) | От a до b; используется метод цилиндрических оболочек для области под графиком |
Сначала определите вид искомой величины и форму поперечного сечения. Затем проверьте знак функции, порядок графиков и границы области. Если условие меняется внутри промежутка, применяйте несколько интегралов.
Условие: найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2. На отрезке [0; 2] функция неотрицательна, поэтому интеграл сразу задаёт геометрическую площадь.
Ответ: S = 8/3 квадратных единицы. Площадь положительна, поскольку график не опускается ниже оси Ox.
Условие: найти площадь между y = x и y = x² на [0; 1]. Нужно выяснить, какая кривая выше, иначе можно получить интеграл с неправильным знаком.
Ответ: S = 1/6 квадратных единицы. На данном отрезке графики пересекаются только на границе x = 0 и x = 1, поэтому разбивать промежуток не требуется.
Условие: найти объём тела, полученного вращением области под y = √x на [0; 4] вокруг Ox. Вертикальный отрезок высоты √x при вращении образует круг радиуса √x.
Ответ: V = 8π кубических единиц. Квадрат корня сократился, потому что площадь кругового сечения зависит от квадрата его радиуса.
Неправильный порядок вычитания. Интегрирование f(x) − g(x) без сравнения графиков может дать отрицательную площадь. Ошибку допускают, считая, что порядок функций в условии уже задаёт порядок вычитания; проверьте значения функций или постройте схему.
Игнорирование отрицательных значений. Интеграл функции, лежащей ниже Ox, учитывает знак, а не обычную площадь. Найдите нули функции и разбейте промежуток, после чего сложите положительные площади.
Отсутствие квадрата радиуса. Запись πf(x) вместо π(f(x))² означает, что использована не площадь круга, а неверное выражение. Проверьте формулу круга: S = πr², где r — радиус сечения.
Неверные пределы. Пределы, не совпадающие с границами области, описывают другую фигуру. Найдите крайние координаты, точки пересечения и заданные прямые, затем сравните их с пределами интеграла.
Для применения интеграла нужны его геометрический смысл, свойства и формула Ньютона — Лейбница. Также необходимо уметь находить точки пересечения графиков, сравнивать значения функций и определять верхнюю кривую. В физике те же идеи позволяют вычислять работу переменной силы и путь по известной скорости: интеграл складывает бесконечно малые вклады величины.
Почему площадь под графиком можно вычислить определённым интегралом?
Фигуру под графиком разбивают на узкие вертикальные полосы. Каждая полоса приближённо похожа на прямоугольник, а интеграл является пределом суммы площадей таких прямоугольников.
Что делать, если график функции проходит ниже оси Ox?
Интеграл на таком участке учитывает площадь со знаком минус. Для геометрической площади нужно найти нули функции, разбить промежуток и интегрировать модуль функции либо сложить площади участков отдельно.
Как понять, какую функцию вычитать из другой при нахождении площади?
На выбранном участке нужно определить, какая функция имеет большее значение при одинаковом x. Из верхней функции вычитают нижнюю: f(x) − g(x), если f(x) ≥ g(x).
Почему при вычислении объёма появляется квадрат функции?
При вращении вокруг оси Ox вертикальное сечение становится кругом радиуса f(x). Площадь круга равна πr², поэтому подынтегральное выражение имеет вид π(f(x))².
Как выбрать пределы интегрирования для фигуры между двумя графиками?
Пределами служат крайние значения x, между которыми расположена рассматриваемая область. Если границы образованы пересечениями графиков, сначала находят координаты точек пересечения.
§ 67. Применения определённого интеграла
