"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx описывает накопленное значение функции на отрезке; для неотрицательной функции его можно понимать как площадь под графиком. Благодаря свойствам интеграла сложное вычисление часто удаётся разбить на простые части, вынести постоянные множители или оценить результат, даже не находя точного значения. Главное — следить за порядком пределов и проверять, что сравнение функций верно на всём отрезке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Определённый интеграл функции f(x) на отрезке [a; b] записывают ∫ₐᵇ f(x) dx. В школьном курсе его связывают с пределом интегральных сумм, а для непрерывной неотрицательной функции он равен площади фигуры под графиком от x = a до x = b. Интеграл нужен не только для вычисления площадей: он описывает накопленное значение величины, меняющейся непрерывно.
Аддитивность определённого интеграла означает, что интеграл по целому отрезку можно представить как сумму интегралов по его частям. Если a ≤ c ≤ b, то ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx. Свойство полезно, когда функцию или площадь удобнее исследовать отдельно на нескольких участках.
Линейность определённого интеграла объединяет два правила: постоянный множитель можно вынести, а сумму функций — разделить на сумму интегралов. Например, ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx и ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx, где k — число. Это позволяет преобразовать подынтегральное выражение перед вычислением.
Монотонность определённого интеграла связывает сравнение функций со сравнением их интегралов: если f(x) ≤ g(x) для всех x на [a; b], то ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx. В частности, из f(x) ≥ 0 следует ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0 при a ≤ b. Эти правила нужны для сравнения площадей и получения оценок, даже когда сам интеграл вычислить трудно.
Геометрический смысл помогает увидеть, почему разбиение отрезка не меняет общего результата. Если разделить [a; b] точкой c, область под графиком распадается на две части, а их ориентированные площади складываются. Интеграл учитывает площадь выше оси Ox со знаком плюс, а ниже оси — со знаком минус, поэтому сложение работает и при пересечении графиком оси.
Именно так получается аддитивность: интегрирование сначала от a до c, а затем от c до b охватывает тот же участок, что интегрирование от a до b. Поэтому ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx. Если нужно интегрировать отрезок в обратном направлении, действует формула ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx: смена направления меняет знак накопленного значения.
Линейность согласуется с тем, как устроены интегральные суммы. В каждом слагаемом такой суммы значение функции умножается на ширину маленького промежутка; если функцию умножили на постоянное число, на него умножается и вся сумма, а значит, и её предел. Для суммы функций складываются соответствующие значения на каждом промежутке, поэтому предел суммы равен сумме пределов: ∫ₐᵇ (αf(x) + βg(x)) dx = α∫ₐᵇ f(x) dx + β∫ₐᵇ g(x) dx.
Если f(x) ≥ 0 на отрезке и a ≤ b, все значения в интегральных суммах неотрицательны, поэтому их предел — интеграл — тоже неотрицателен. Если f(x) ≤ g(x) в каждой точке отрезка, то и соответствующие интегральные суммы для f не превосходят сумм для g. При переходе к пределу получается неравенство ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx; это и есть монотонность.
Оценка через границы функции следует из монотонности. Если m ≤ f(x) ≤ M при каждом x на [a; b], то можно сравнить f сначала с постоянной функцией m, а затем с постоянной M. Интегралы постоянных равны m(b − a) и M(b − a), откуда m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a). Здесь предполагается a ≤ b: при перестановке пределов интеграл меняет знак, поэтому формулу оценки нужно применять с учётом этого знака.
| Свойство | Условие | Формула |
|---|---|---|
| Аддитивность по промежутку | a ≤ c ≤ b | ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx |
| Перестановка пределов интегрирования | Интеграл существует | ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx |
| Интеграл от суммы и вынесение множителя | α, β — постоянные | ∫ₐᵇ (αf + βg) dx = α∫ₐᵇ f dx + β∫ₐᵇ g dx |
| Неотрицательность | f(x) ≥ 0, a ≤ b | ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0 |
| Монотонность | f(x) ≤ g(x) на всём [a; b] | ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx |
| Оценка интеграла через границы функции | m ≤ f(x) ≤ M, a ≤ b | m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a) |
Чтобы выбрать нужное свойство, сначала посмотрите, что дано: интегралы по отдельным частям, линейная комбинация функций или неравенство для значений функции. Затем проверьте условия, особенно порядок пределов и то, на всём ли отрезке выполняется сравнение. Таблица даёт формулу, но не отменяет необходимости проверить эти условия.
Задача 1. Вычислить ∫₀⁴ f(x) dx, если ∫₀² f(x) dx = 3 и ∫₂⁴ f(x) dx = −1. Здесь известны интегралы по двум соседним частям отрезка [0; 4]. Значит, сначала нужно объединить части по правилу аддитивности, а не вычислять интеграл заново.
Ответ: 2.
Задача 2. Выразить ∫ₐᵇ (3f(x) − 2g(x)) dx через интегралы функций f и g. Внутри стоит разность функций с постоянными множителями, поэтому удобно применить линейность. Важно не потерять знак минус перед вторым слагаемым.
Ответ: 3∫ₐᵇ f(x) dx − 2∫ₐᵇ g(x) dx.
Задача 3. Известно, что 1 ≤ f(x) ≤ 4 на отрезке [2; 5]. Оценить ∫₂⁵ f(x) dx. Условия дают нижнюю и верхнюю границы функции на всём отрезке, а его длина равна 5 − 2 = 3. Применим оценку интеграла через границы функции.
Ответ: 3 ≤ ∫₂⁵ f(x) dx ≤ 12.
При перестановке пределов иногда оставляют интеграл без изменения. Ошибка возникает из-за привычки воспринимать пределы лишь как границы участка, хотя они задают ещё и направление интегрирования. Проверка простая: запишите правило ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx и проверьте, изменился ли знак.
Монотонность нельзя применять, если f(x) ≤ g(x) подтверждено только в нескольких точках. Сравнение интегралов следует из сравнения функций на всём отрезке, а не из совпадения отдельных проверок. Перед выводом о порядке интегралов убедитесь, что неравенство верно для каждого x от a до b.
При работе с линейностью можно забыть вынести постоянный множитель или неверно распределить интеграл по разности. Обычно это происходит при спешке: знак минус перед вторым слагаемым теряется при раскрытии выражения. Проверьте результат, применив правило отдельно к каждому слагаемому и сохранив все коэффициенты и знаки.
В оценке m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a) иногда используют длину со знаком, когда b < a. Эта формула предполагает a ≤ b, а перестановка пределов меняет знак интеграла. Перед подстановкой проверьте порядок концов и вычисляйте длину как b − a только при a ≤ b.
Чтобы пользоваться свойствами, нужно знать определение определённого интеграла и понимать его геометрический смысл: для неотрицательной функции интеграл связан с площадью под графиком. Правила вычисления по формуле Ньютона—Лейбница дают способ находить точные значения интегралов, а свойства помогают преобразовать выражение до вычисления. Вместе эти знания позволяют выбирать удобный путь решения.
Свойства применяются, когда отрезок делят на части и складывают результаты, сравнивают площади или оценивают интеграл без первообразной. Например, границы функции сразу дают интервал возможных значений интеграла, а монотонность позволяет заключать, какой из двух интегралов больше. Поэтому эти правила полезны и в вычислениях, и в задачах на доказательство.
Почему интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям?
При разбиении отрезка на части площади под графиком складываются, поэтому интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям. Это верно и для функций, принимающих отрицательные значения: интеграл учитывает площадь со знаком.
Что происходит с интегралом, если поменять местами пределы?
Интеграл меняет знак: ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx. Геометрически меняется направление суммирования, поэтому результат берётся с противоположным знаком.
Можно ли вынести за знак интеграла выражение, зависящее от x?
Нет, вынести можно только постоянный множитель, не зависящий от x. Выражение с x является частью подынтегральной функции и должно оставаться внутри интеграла.
Достаточно ли неравенства f(x) ≤ g(x) в нескольких точках, чтобы сравнить интегралы?
Нет, для сравнения интегралов неравенство должно выполняться на всём отрезке. В отдельных точках графики могут располагаться иначе, и тогда вывод о порядке интегралов не обоснован.
Как оценить интеграл, если известны наибольшее и наименьшее значения функции?
Если m ≤ f(x) ≤ M на [a; b] и a ≤ b, умножьте все части неравенства на длину отрезка b − a. Получится m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a).
§ 66. Свойства определённого интеграла
