"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Определённый интеграл — число, которое получают как предел интегральных сумм и используют, например, для вычисления площади и накопленного изменения величины. Его свойства позволяют менять направление интегрирования, делить промежуток на части и упрощать выражения с суммами функций. Главное — учитывать порядок пределов и условия, при которых сравнивают интегралы. Эти правила помогают вычислять интегралы, даже когда исходная функция задана не формулой, а значением её интеграла на другом промежутке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Определённый интеграл — число, равное пределу интегральных сумм для функции на заданном промежутке, если этот предел существует. Его обозначают ∫ₐᵇ f(x) dx: f(x) называют подынтегральной функцией, а dx указывает переменную интегрирования. Определение связывает интеграл с суммированием малых вкладов функции. Оно нужно, чтобы вычислять накопленную величину, например площадь с учётом знака.
Пределы интегрирования — числа a и b, задающие промежуток, на котором рассматривают функцию и составляют интегральные суммы. В записи ∫ₐᵇ f(x) dx число a стоит снизу, а b — сверху. Их порядок также задаёт направление интегрирования: от a к b. Поэтому при перестановке пределов меняется знак результата.
Аддитивность определённого интеграла — свойство, согласно которому интеграл по промежутку можно разделить в точке c: ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫сᵇ f(x) dx, если c находится между a и b. Оно позволяет изучать части промежутка отдельно. Например, точку разбиения удобно выбирать там, где меняется формула функции.
Линейность определённого интеграла объединяет два правила: постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов. В общем виде ∫ₐᵇ (αf + βg) dx = α∫ₐᵇ f dx + β∫ₐᵇ g dx, если f и g интегрируемы, а α и β постоянны. Это свойство нужно, чтобы разбивать сложное подынтегральное выражение на более простые части.
Если поменять пределы местами, получится ∫ᵇₐ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx. Причина видна в интегральных суммах: при движении от a к b узкие отрезки проходят в одном порядке, а при движении от b к a — в обратном. Направленные приращения тогда имеют противоположный знак. Поэтому перестановка границ не просто меняет запись, а меняет знак интеграла.
Разбиение промежутка в точке c даёт равенство ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫сᵇ f(x) dx. Интегральная сумма на целом промежутке состоит из слагаемых, относящихся к двум его частям. Если в сумме выделить вклады слева и справа от c, получится сумма двух интегральных сумм. При переходе к пределу их сумма становится суммой интегралов.
Постоянный множитель α выносится из интеграла: ∫ₐᵇ αf(x) dx = α∫ₐᵇ f(x) dx. В интегральной сумме каждое слагаемое имеет вид f(xᵢ)Δxᵢ, а для функции αf(x) оно становится αf(xᵢ)Δxᵢ. Один и тот же множитель можно вынести перед всей суммой, а затем и перед её пределом. Это объясняет, почему правило работает именно для постоянного множителя.
Интеграл суммы равен сумме интегралов: ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx. В каждой точке разбиения значение суммы раскладывается на f(xᵢ) + g(xᵢ), поэтому и слагаемые интегральной суммы разделяются на две группы. При переходе к пределу каждая группа даёт интеграл своей функции. Вместе с выносом множителя это даёт правило линейности.
Если f(x) ≥ 0 на всём [a; b], каждое слагаемое интегральной суммы неотрицательно, поэтому неотрицателен и предел: ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0. Если f(x) ≤ g(x) на всём промежутке, то разность g(x) − f(x) неотрицательна, а значит, ∫ₐᵇ (g(x) − f(x)) dx ≥ 0. По линейности это означает, что ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx. Именно так из сравнения функций получают сравнение их интегралов.
| Свойство | Условие | Формула |
|---|---|---|
| Одинаковые пределы | a = b | ∫ₐᵃ f(x) dx = 0 |
| Перестановка пределов | f интегрируема на промежутке | ∫ᵇₐ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx |
| Аддитивность по промежутку | c лежит между a и b | ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫сᵇ f(x) dx |
| Вынесение постоянного множителя | α — постоянная | ∫ₐᵇ αf(x) dx = α∫ₐᵇ f(x) dx |
| Интеграл суммы | f и g интегрируемы | ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx |
| Неотрицательность и сравнение | f ≥ 0 или f ≤ g на [a; b] | ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0; ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx |
Сначала проверь условие в нужной строке: например, для сравнения функций неравенство должно выполняться на всём промежутке. Затем выбери свойство, которое связывает данную запись с искомой. Если одновременно есть сумма и множители, сначала можно применить линейность, а потом использовать остальные свойства.
Задача 1. Вычислить ∫₃¹ (2x + 1) dx, если известно значение ∫₁³ (2x + 1) dx. Числовое значение интеграла в условии не указано, поэтому ответ выразим через него. Нужно обратить внимание только на порядок пределов, а подынтегральная функция при этом не меняется.
Ответ: ∫₃¹ (2x + 1) dx = −∫₁³ (2x + 1) dx.
Задача 2. Представить ∫₀⁵ f(x) dx через интегралы по промежуткам [0; 2] и [2; 5]. Точка 2 лежит внутри отрезка от 0 до 5, поэтому она подходит для разбиения. Искомая запись должна учитывать весь исходный промежуток без пропусков и перекрытий.
Ответ: ∫₀⁵ f(x) dx = ∫₀² f(x) dx + ∫₂⁵ f(x) dx.
Задача 3. Вычислить ∫₀² (3f(x) − 2g(x)) dx, если ∫₀² f(x) dx = 4 и ∫₀² g(x) dx = 1. Здесь подынтегральное выражение составлено из двух функций с постоянными множителями. Значит, его можно разложить на интегралы, значения которых уже известны.
Ответ: 10.
При перестановке пределов иногда оставляют прежний знак. Это происходит, когда пределы воспринимают только как границы отрезка и не учитывают направление интегрирования. Проверка: запиши рядом правило ∫ᵇₐ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx и сравни порядок нижнего и верхнего пределов. Если они поменялись местами, знак должен измениться.
Иногда интегралу с одинаковыми пределами приписывают ненулевое значение. Причина — попытка вычислять его по формуле, не заметив, что промежуток имеет нулевую длину. По самому определению интегральной суммы здесь нет участка, который нужно суммировать, поэтому ∫ₐᵃ f(x) dx = 0. Перед вычислением проверь, не совпадают ли пределы.
При разбиении промежутка можно сложить части, не сверив направления их пределов. Тогда одна часть учитывается с неверным знаком или конечные участки не образуют исходный промежуток. Проверь, что первая часть идёт от a до c, а вторая — от c до b. Если порядок границ в какой-либо части обратный, используй правило перестановки пределов.
Сравнение интегралов применяют, даже если неравенство между функциями проверено лишь в нескольких точках. Так ошибочно распространяют локальное наблюдение на весь промежуток. Для вывода ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx нужно, чтобы f(x) ≤ g(x) выполнялось при каждом x на [a; b]. Проверь условие на всём промежутке и убедись, что функции интегрируемы.
Для работы со свойствами нужно знать определение определённого интеграла, интегральные суммы и условия интегрируемости функций. Интегральные суммы объясняют, почему возникают правила перестановки, разбиения и линейности. Без понимания пределов сумм свойства выглядят как набор отдельных формул.
Аддитивность и линейность помогают вычислять интегралы по частям и приводить выражения к удобному виду. После упрощения может применяться формула Ньютона — Лейбница, связывающая определённый интеграл с первообразной. Поэтому свойства часто служат подготовительным шагом к вычислению.
Неотрицательность и сравнение позволяют оценивать интегралы, даже если точное значение найти трудно. Геометрически интеграл неотрицательной функции на отрезке связан с площадью под её графиком. Эти свойства используют в задачах на оценки площадей и интегрирование.
Почему при перестановке пределов интеграл меняет знак?
Интеграл учитывает направление перехода от первого предела ко второму. При обратном направлении слагаемые интегральной суммы получают противоположный знак, поэтому ∫ᵇₐ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx.
Можно ли разбить промежуток интегрирования в любой внутренней точке?
Да, если функция интегрируема на исходном промежутке, её можно интегрировать отдельно на частях. Для точки c между a и b выполняется ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫сᵇ f(x) dx.
Какие условия нужны, чтобы вынести множитель за знак интеграла?
Множитель должен быть постоянным, то есть не зависеть от x, а функция f должна быть интегрируема на рассматриваемом промежутке. Тогда ∫ₐᵇ αf(x) dx = α∫ₐᵇ f(x) dx.
Верно ли, что интеграл суммы всегда равен сумме интегралов?
Да, если обе функции интегрируемы на одном и том же промежутке. Тогда интеграл их суммы равен сумме интегралов: ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx.
Как из сравнения функций получить сравнение их интегралов?
Если f(x) ≤ g(x) для всех x на [a; b], то ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx. Условие должно выполняться на всём промежутке, а обе функции должны быть интегрируемы.
6.7. Свойства определенного интеграла
