"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формула Ньютона—Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функции. Она позволяет заменить сложный подсчёт площади или накопленного изменения простой разностью значений первообразной на концах отрезка. Для вычисления интеграла достаточно найти первообразную, подставить в неё верхний и нижний пределы и вычесть второе значение из первого.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразная функции f на промежутке — это функция F, производная которой равна f: F′(x) = f(x). Например, для f(x) = 3x² одной первообразной будет F(x) = x³. Первообразная нужна, чтобы вычислять определённые интегралы через значения функции на концах отрезка.
Определённый интеграл от a до b обозначают так: ∫ₐᵇ f(x) dx. Функция f(x) называется подынтегральной, а числа a и b — нижним и верхним пределами интегрирования. Интеграл задаёт одно число, а не новую функцию от x.
Формула Ньютона—Лейбница утверждает: если F — первообразная функции f на промежутке, содержащем [a; b], то ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Она превращает вычисление интеграла в нахождение первообразной и подстановку двух значений. Поэтому формула особенно удобна для функций из таблицы первообразных.
Приращение первообразной на отрезке — это разность F(b) − F(a), то есть изменение значения F от левого конца к правому. Его также записывают как F(x)|ₐᵇ. Такая запись коротко показывает, что сначала берут значение при верхнем пределе, а затем вычитают значение при нижнем.
Для неотрицательной непрерывной функции график вместе с осью Ox и прямыми x = a и x = b образует криволинейную трапецию. Её площадь естественно связывается с интегралом ∫ₐᵇ f(x) dx. Интеграл даёт площадь именно потому, что складывает бесконечно малые вклады функции на всём отрезке.
Сначала отрезок [a; b] разбивают на маленькие части и на каждой строят прямоугольник с высотой, примерно равной значению функции. Сумма площадей таких прямоугольников приближённо описывает площадь под графиком. При уменьшении ширины частей это приближение стремится к точному числу, которое и называют определённым интегралом.
Первообразная накапливает изменение величины: её производная показывает скорость этого изменения в каждой точке. Поэтому суммарное изменение за весь отрезок получается вычитанием начального значения из конечного. Так возникает равенство ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), а не просто правило подстановки.
Вычисление выполняют в определённом порядке: находят одну первообразную F(x), подставляют в неё b, затем a и считают разность F(b) − F(a). Подставлять пределы нужно именно в первообразную, а не в исходную функцию. Такой алгоритм позволяет не потерять знак и правильно учесть оба конца отрезка.
В школьных задачах формулу применяют, когда функция непрерывна на отрезке [a; b] и выбранная первообразная определена на всём этом отрезке. Если первообразную заменить на F(x) + C, результат не изменится, поскольку постоянная сократится в разности. Это объясняет, почему для вычисления достаточно найти любую одну первообразную.
Таблица показывает, какую роль играет каждый элемент записи интеграла и какое действие с ним нужно выполнить. Двигайтесь по строкам слева направо: сначала распознайте функцию и пределы, затем найдите первообразную. В конце оформите разность значений и получите число.
| Этап или обозначение | Что означает | Что сделать |
|---|---|---|
| f(x) | Подынтегральная функция | Определить функцию, интеграл которой вычисляется |
| a и b | Нижний и верхний пределы интегрирования | Подставить оба предела в первообразную |
| F(x) | Первообразная функции f(x) | Найти одну первообразную на отрезке |
| F(x)|ₐᵇ | Разность значений первообразной на концах отрезка | Вычислить F(b) − F(a) |
| ∫ₐᵇ f(x) dx | Значение определённого интеграла | Записать итог вычисления |
Задача 1. Вычислить ∫₀² 3x² dx. Подынтегральная функция имеет простую степенную форму, поэтому достаточно применить таблицу первообразных. Нижний предел равен 0, а верхний — 2.
Задача 2. Вычислить ∫₁ᵉ 1/x dx. На отрезке [1; e] функция 1/x непрерывна, поэтому формула применима. Её первообразная — натуральный логарифм ln x.
Задача 3. Вычислить ∫₀ᵖⁱ (sin x + 2x) dx. Сумма подынтегральных функций интегрируется почленно. Нужно подобрать первообразную отдельно для sin x и для 2x, а затем объединить результаты.
Иногда вычисляют F(a) − F(b), меняя порядок вычитания. Так происходит, когда ученик механически подставляет сначала нижний предел. Проверьте себя записью F(x)|ₐᵇ: верхний предел всегда идёт первым, поэтому правильный результат — F(b) − F(a).
Другая ошибка — подстановка пределов непосредственно в f(x). Интеграл вычисляют не по значениям исходной функции в двух точках, а по значениям её первообразной. Перед подстановкой убедитесь, что слева от вертикальной черты стоит именно F(x).
При вычислении F(b) − F(a) часто теряются знаки слагаемых. Причина в том, что нижнее значение вычитается целиком, а не только его первое слагаемое. Записывайте второе значение в скобках и раскрывайте их только после подстановки.
Нельзя проверять существование первообразной лишь в отдельных точках отрезка. Она должна быть определена на всём [a; b], а функция в стандартной ситуации — непрерывна там. Перед решением посмотрите, нет ли на отрезке запрещённых значений или точек разрыва.
До изучения формулы нужны понятие первообразной и таблица основных первообразных. Без них невозможно быстро подобрать F(x) и применить правило вычисления. Производная помогает проверить найденную первообразную обратным дифференцированием.
Определённый интеграл можно понимать как предел интегральных сумм. Это объясняет его связь с площадью и смысл пределов интегрирования. Формула Ньютона—Лейбница даёт практический способ вычислять уже определённый интеграл.
Интегралы применяются при нахождении площадей фигур и пройденного пути по известной скорости. Тем же способом вычисляют накопленные величины, заданные функцией на отрезке. Поэтому формула связывает алгебраические вычисления с геометрическими и физическими задачами.
Почему в формуле Ньютона—Лейбница вычитают значение в нижнем пределе?
Первообразная показывает накопленное изменение величины от начальной точки. Поэтому изменение на отрезке от a до b равно конечному значению F(b) минус начальному F(a).
Можно ли выбрать любую первообразную для вычисления интеграла?
Да, можно выбрать любую первообразную функции на данном отрезке. Первообразные отличаются постоянным слагаемым, а при вычитании это слагаемое сокращается.
Что означает запись F(x)|ₐᵇ?
Эта запись означает разность значений функции F в верхнем и нижнем пределах. То есть F(x)|ₐᵇ = F(b) − F(a).
Нужно ли проверять непрерывность функции на всём отрезке?
Да, при стандартном применении формулы функция должна быть непрерывной на отрезке [a; b], а выбранная первообразная — определённой на нём. Точки разрыва могут сделать применение формулы невозможным или потребовать отдельного анализа.
Что произойдёт со значением интеграла, если поменять пределы местами?
Значение интеграла изменит знак: ∫ᵇₐ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx. Это согласуется с тем, что при перестановке концов отрезка меняется порядок вычитания.
6.6. Формула Ньютона-Лейбница
