6.8. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах

Определения и обозначения

Площадь криволинейной трапеции — площадь фигуры между графиком неотрицательной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. Она вычисляется формулой S = ∫ от a до b f(x) dx. Это позволяет находить площадь даже тогда, когда верхняя граница фигуры является кривой.

Площадь фигуры между графиками — площадь области, ограниченной двумя функциями на отрезке. Если f(x) выше g(x), то S = ∫ от a до b (f(x) − g(x)) dx. Вычитание превращает вертикальную высоту фигуры в разность значений функций.

Работа переменной силы — физическая величина, описывающая действие силы при перемещении тела. Если сила зависит от координаты x, работу находят формулой A = ∫ от a до b F(x) dx. Интеграл нужен потому, что на разных участках пути сила совершает разные по величине малые работы.

Путь при переменной скорости — длина траектории движения тела за заданное время. При скорости v(t) перемещение выражается интегралом ∫ от t₁ до t₂ v(t) dt, а путь — интегралом ∫ от t₁ до t₂ |v(t)| dt. Модуль устраняет влияние направления и оставляет только длину каждого малого перемещения.

Как это устроено

Общий принцип интегрального метода состоит в замене сложной величины суммой простых малых вкладов. Отрезок разбивают на части, на каждой части считают вклад примерно постоянным, а затем складывают результаты. Когда ширина частей стремится к нулю, приближённая сумма переходит в предел интегральных сумм, то есть в определённый интеграл.

Для площади под графиком берут очень узкие прямоугольники с основанием Δx и высотой примерно f(x). Их площади равны f(x)Δx, поэтому сумма имеет вид Σf(x)Δx и в пределе превращается в ∫ от a до b f(x) dx. Это рассуждение напрямую работает для f(x) ≥ 0. Если функция ниже оси Ox, её значения отрицательны и интеграл даёт ориентированную, а не обычную геометрическую площадь; тогда промежуток делят по нулям функции и складывают модули полученных интегралов.

Для области между графиками высота вертикального сечения равна разности значений верхней и нижней функций. Поэтому при f(x) ≥ g(x) площадь равна ∫ от a до b (f(x) − g(x)) dx. Если графики пересекаются внутри промежутка, верхняя функция может измениться: точки пересечения находят из уравнения f(x) = g(x), затем каждый участок считают отдельно.

Путь и работа строятся тем же способом. На малом промежутке времени перемещение приблизительно равно v(t)Δt, поэтому в пределе получается интеграл скорости; если скорость отрицательна, это лишь движение в обратную сторону и для полного пути нужен модуль. На малом перемещении Δx работа почти равна F(x)Δx, а суммирование таких произведений даёт A = ∫ от a до b F(x) dx, где сила обязательно выражена через координату.

Применение определённого интеграла

Сначала определите, какую величину описывает задача, и выберите переменную, вдоль которой меняется вклад. Затем проверьте знак функции, расположение графиков или направление движения. После этого подставьте первообразную и вычислите значения на верхнем и нижнем пределах.

Разбор задач

Площадь под графиком

Условие: найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2.

1. На отрезке [0; 2] функция x² неотрицательна, поэтому интеграл сразу задаёт обычную площадь.
2. Записываем S = ∫ от 0 до 2 x² dx = x³/3 | от 0 до 2.
3. Вычисляем: S = 8/3 − 0 = 8/3.

Ответ: S = 8/3 квадратных единицы.

Площадь между двумя графиками

Условие: найти площадь фигуры, ограниченной графиками y = x и y = x².

1. Точки пересечения находятся из x = x²: x(x − 1) = 0, поэтому x = 0 и x = 1.
2. На отрезке [0; 1] выполняется x ≥ x², значит, сверху расположен график y = x, а снизу — y = x².
3. Площадь равна S = ∫ от 0 до 1 (x − x²) dx = (x²/2 − x³/3) | от 0 до 1 = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Ответ: S = 1/6 квадратных единицы.

Путь при переменной скорости

Условие: тело движется со скоростью v(t) = 3t² − 12t + 9 на промежутке от t = 0 до t = 4. Найти пройденный путь.

1. Разложим скорость: v(t) = 3(t − 1)(t − 3). Нули t = 1 и t = 3 делят время на три участка; скорость положительна на [0; 1] и [3; 4], отрицательна на [1; 3].
2. Первообразная скорости F(t) = t³ − 6t² + 9t. Поэтому путь равен F(1) − F(0) − (F(3) − F(1)) + F(4) − F(3).
3. F(0) = 0, F(1) = 4, F(3) = 0, F(4) = 4. Получаем L = 4 − (−4) + 4 = 12.

Ответ: пройденный путь равен 12 единицам длины.

Типичные ошибки

Интеграл считают площадью без проверки знака. Так поступают, потому что график мысленно воспринимают как лежащий над осью. Проверьте значения функции и разбейте промежуток в её нулях, если она меняет знак.

Функции вычитают в неверном порядке. Ошибка возникает, когда верхний график не определён заранее. На выбранном участке вычислите несколько значений: подынтегральная разность должна быть неотрицательной.

Для пути используют интеграл скорости без учёта отрицательных значений. Такой интеграл даёт перемещение, потому что обратное движение уменьшает результат. Найдите нули скорости и сравните найденный результат с физическим смыслом: путь не может быть отрицательным.

Силу подставляют как функцию времени вместо координаты. Это происходит из-за смешения задач на путь и работу. Для работы проверьте единицы и запишите силу именно в виде F(x), а пределы свяжите с начальной и конечной координатами.

Связь с другими темами

Для решения задач нужен определённый интеграл и его геометрический смысл. Также необходимо уметь находить первообразную и применять формулу Ньютона — Лейбница. Эти навыки превращают геометрическую или физическую модель в вычисление.

Площадь между графиками связана с исследованием функций. Нужно находить точки пересечения, сравнивать значения функций и определять промежутки, где одна из них выше другой.

В физике интеграл описывает сумму непрерывно меняющихся вкладов. Поэтому один и тот же метод применяется к работе, пути и другим величинам, которые складываются из малых частей.

Что запомнить

• Определённый интеграл суммирует непрерывно меняющиеся малые вклады.
• Площадь под графиком неотрицательной функции равна интегралу этой функции.
• Площадь между графиками находят интегрированием разности верхней и нижней функций.
• Интеграл скорости даёт перемещение.
• Путь при смене направления движения находят с учётом модуля скорости.
• Работа переменной силы равна интегралу силы по перемещению.