"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Дифференциальное уравнение описывает связь неизвестной функции с её производными. Оно помогает исследовать процессы, в которых величины изменяются: движение, рост, нагревание и другие явления. Главное — научиться определять порядок уравнения, проверять функции подстановкой и с помощью начального условия выбирать конкретное решение из целого семейства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дифференциальное уравнение — уравнение, в котором неизвестной является функция и входят её производные. Например, y′ = 2x связывает функцию y с её производной. Это понятие нужно, чтобы описывать зависимость величины не только от её значения, но и от скорости изменения.
Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение. Если присутствует y″, но нет производных третьего порядка, уравнение второе. По порядку выбирают подходящий способ исследования уравнения.
Решение дифференциального уравнения — функция, которая после подстановки вместе со своими производными превращает уравнение в верное равенство. Поэтому решение проверяют не только по значению y, но и по производным. Так устанавливают, действительно ли функция подходит.
Начальное условие — заданное значение функции или её производной при определённом значении независимой переменной. Например, y(0) = 2 задаёт значение функции при x = 0. Такое условие помогает выбрать одну функцию из нескольких решений.
В привычном алгебраическом уравнении неизвестным может быть число: например, x в равенстве 2x + 1 = 7. В дифференциальном уравнении неизвестной является функция, то есть правило, по которому каждому x соответствует значение y. Поэтому результатом решения становится не одно число, а функция или семейство функций.
Уравнение называют дифференциальным, потому что оно связывает функцию с её производными. Производная показывает, как меняется функция, поэтому такое уравнение может описывать скорость движения, изменение температуры или рост величины. Например, запись y′ = 2x утверждает, что скорость изменения функции в каждой точке равна 2x.
Порядок определяют по самой старшей производной. В уравнении y″ + 3y′ − 2y = 0 старшая производная — вторая, значит, порядок равен двум, а в уравнении y‴ − y = 0 порядок равен трём. При этом запись (y″)⁵ + y = 0 всё равно имеет второй порядок: степень производной равна пяти, но её порядок остаётся вторым.
Чтобы проверить функцию, сначала находят её производные до нужного порядка. Затем подставляют в левую и правую части уравнения и сравнивают получившиеся выражения. Если равенство выполняется на всей рассматриваемой области, функция является решением; проверки в одной точке недостаточно.
Одно дифференциальное уравнение часто имеет не одну, а бесконечно много функций-решений. Их объединяют в семейство с произвольной постоянной, например y = Ceˣ. Начальное условие задаёт значение функции в конкретной точке, позволяет найти постоянную C и тем самым выделить единственное решение, если это возможно.
| Признак | Алгебраическое уравнение | Дифференциальное уравнение |
|---|---|---|
| Что является неизвестным | Число или несколько чисел | Функция |
| Что входит в уравнение | Числа, переменные и алгебраические выражения | Функция и её производные |
| Что означает решение | Значение переменной, превращающее равенство в верное | Функция, превращающая равенство в верное вместе с производными |
| Как записывают условие для выбора решения | Обычно задают дополнительные ограничения на переменную | Начальное условие, например y(0) = 2 |
Сначала определите, что считается неизвестным: отдельное число или функция. Затем проверьте, входят ли в запись производные. В последней строке таблицы видно, почему для дифференциального уравнения требуется начальное условие.
Проверим, является ли функция y = x² решением уравнения y′ = 2x. Здесь требуется сравнить производную данной функции с правой частью уравнения. Достаточно выполнить дифференцирование и подстановку.
Ответ: y = x² является решением уравнения y′ = 2x.
Определим порядок уравнения y″ + 3y′ − 2y = 0 и проверим функцию y = eˣ. Старшая производная здесь y″, поэтому сначала устанавливаем порядок, а затем вычисляем производные функции. Экспонента удобна тем, что её первая и вторая производные совпадают с самой функцией.
Ответ: порядок уравнения равен двум; функция y = eˣ его решением не является.
Дано семейство y = Ceˣ, где C — постоянная. Нужно проверить, что все функции семейства решают y′ = y, а затем выбрать функцию с условием y(0) = 2. Постоянную C найдём только после проверки уравнения.
Ответ: конкретное решение имеет вид y = 2eˣ.
Неизвестной считают только y. Так забывают, что требуется найти функцию целиком, то есть её зависимость от x. Проверьте себя: спросите, какая функция после подстановки вместе с производными выполняет равенство.
Порядок определяют по степени производной. Например, в уравнении (y″)⁵ + y = 0 степень равна пяти, но порядок равен двум. Чтобы не ошибиться, найдите именно производную с самым большим индексом.
Функцию подставляют без вычисления производных. Одного значения y обычно недостаточно, ведь уравнение может содержать y′ или y″. Выпишите все производные, которые встречаются в записи, и только после этого подставляйте их.
Начальное условие считают выполненным автоматически. Функция может решать уравнение, но не проходить через заданную точку. После общей проверки отдельно подставьте нужное значение x и убедитесь, что условие выполняется.
До изучения дифференциальных уравнений нужны понятия функции и производной, а также правила дифференцирования. Без них нельзя определить порядок уравнения или проверить подстановкой предложенное решение.
Дальше эта тема связывается со способами нахождения решений. Дифференциальные уравнения позволяют математически описывать процессы изменения величин: движение, рост, распространение и изменение температуры.
Чем дифференциальное уравнение отличается от алгебраического?
В алгебраическом уравнении неизвестным обычно является число или несколько чисел. В дифференциальном уравнении неизвестна функция, причём в запись входят её производные.
Как определить порядок дифференциального уравнения?
Нужно найти производную самого высокого порядка, входящую в уравнение. Степень этой производной не влияет на порядок.
Как проверить, что функция является решением уравнения?
Сначала находят все необходимые производные данной функции. Затем подставляют функцию и производные в уравнение и проверяют, получается ли верное равенство.
Почему решением может быть целое семейство функций?
При решении дифференциального уравнения часто появляется произвольная постоянная. Разные значения этой постоянной дают разные функции, каждая из которых удовлетворяет уравнению.
Для чего задают начальное условие?
Начальное условие выбирает одну функцию из семейства решений. Оно задаёт значение функции или её производной при определённом значении независимой переменной.
6.9. Понятие дифференциального уравнения
