6.5 Геометрическая вероятность

Определения и обозначения

Геометрическая вероятность — вероятность попадания случайно выбранной точки в благоприятную часть области. Она позволяет решать задачи, где возможных положений точки бесконечно много, например на отрезке или внутри круга. Обычно её обозначают буквой P.

Область возможных попаданий — фигура или отрезок, внутри которых может оказаться случайная точка. Именно размер всей этой области стоит в знаменателе формулы. Сначала нужно найти её, иначе легко сравнить благоприятную часть не с тем объектом.

Благоприятная область — часть области возможных попаданий, попадание в которую считается успешным. Это может быть один отрезок, несколько частей фигуры, треугольник внутри прямоугольника или кольцо. Её размер помещают в числитель.

Равномерный выбор точки — способ выбора, при котором равные по длине, площади или объёму части имеют равные шансы. Поэтому вероятность можно вычислить как отношение размеров частей. Без равномерности одна и та же геометрическая доля не обязательно означает такую же вероятность.

Как это устроено

При равномерном выборе точки каждый участок одинакового размера имеет одинаковую возможность быть выбранным. Если благоприятная область занимает, например, треть всей фигуры, то на неё приходится треть всех возможных положений точки. Поэтому геометрическая вероятность равна отношению размера благоприятной области к размеру области возможных попаданий: P = размер благоприятной области / размер всей области.

Одна и та же идея работает для объектов разных измерений. На отрезке размер измеряют длиной: P = lблаг / lобщ. На плоскости используют площади: P = Sблаг / Sобщ, а в пространстве — объёмы: P = Vблаг / Vобщ. Нельзя смешивать эти величины, потому что они описывают объекты разной размерности.

Границы обычно не меняют результат, потому что у них нет длины, площади или объёма в сравнении с самой областью. Например, окружность имеет площадь 0, хотя ограничивает круг, а концы отрезка не имеют длины. При непрерывном случайном выборе вероятность попасть ровно на границу считается равной нулю.

Чтобы перевести условие в математическую модель, сначала определите, где точка может оказаться вообще. Затем выделите часть, которая считается успехом, и выберите подходящий размер: длину, площадь или объём. После этого найдите оба размера, составьте отношение и проверьте, что благоприятная область действительно находится внутри общей.

Размер благоприятной части не может быть отрицательным и не может превышать размер всей области. Поэтому отношение находится от 0 до 1. Значение 0 означает, что успешное попадание невозможно, а значение 1 — что любое допустимое положение точки является благоприятным.

Геометрическая вероятность в разных случаях

В таблице сначала найдите строку, соответствующую размерности задачи. Затем определите всю область возможных попаданий и благоприятную часть. Последний столбец подсказывает, какие величины нужно подставить в формулу.

Разбор задач

Случайная точка на отрезке

На отрезке длиной 12 см случайно выбирают точку. Благоприятным считается попадание на отрезок длиной 3 см, расположенный внутри исходного. Нужно сравнить длину успешной части с длиной всех возможных положений.

1. Область возможных попаданий имеет длину 12 см, поэтому lобщ = 12.
2. Благоприятная область имеет длину 3 см, поэтому lблаг = 3.
3. Подставим данные в формулу: P = lблаг / lобщ = 3 / 12 = ¼.

Ответ: ¼, или 0,25. Значит, при равномерном выборе точка попадает на указанный отрезок примерно в одном случае из четырёх.

Точка в прямоугольнике

В прямоугольник случайно бросают точку. Внутри него расположен треугольник, площадь прямоугольника равна 40 см², а площадь треугольника — 10 см². Треугольник целиком находится внутри прямоугольника, поэтому он является благоприятной областью.

1. Вся область возможных попаданий — прямоугольник, значит Sобщ = 40 см².
2. Благоприятная область — треугольник, значит Sблаг = 10 см².
3. Вычислим вероятность: P = Sблаг / Sобщ = 10 / 40 = ¼.

Ответ: ¼, или 25%. Отношение площадей подходит потому, что точка выбирается равномерно по всей площади прямоугольника.

Попадание в кольцо

Точка случайно выбирается внутри круга радиуса R. Найти вероятность её попадания в кольцевую область между концентрическими окружностями радиусов R и r, где r меньше R. Кольцо получается из большого круга вычитанием внутреннего круга.

1. Область возможных попаданий — большой круг, его площадь Sобщ = πR².
2. Площадь кольца равна разности площадей: Sблаг = πR² − πr².
3. Разделим благоприятную площадь на общую: P = (πR² − πr²) / πR² = (R² − r²) / R².

Ответ: P = (R² − r²) / R². Вычитание внутреннего круга обязательно: он не относится к кольцевой области.

Типичные ошибки

В числителе и знаменателе иногда используют величины разной размерности: например, длину делят на площадь. Так происходит, когда ученик выбирает формулу по внешнему виду фигуры, а не по способу выбора точки. Проверьте себя: обе величины должны быть длинами, площадями или объёмами.

Другой промах — принять за всю область только благоприятную часть. Тогда отношение часто становится равным 1, хотя успех возможен не всегда. Сначала обведите мысленно или запишите весь объект, где может оказаться точка, и только затем выделяйте нужную часть.

Для кольца или составной области иногда берут площадь внешней фигуры без вычитания непригодной части. Причина — считать границу или внутренний круг частью кольца. Проверьте рисунок словами: благоприятная область состоит только из тех точек, которые подходят по условию.

Вероятность может получиться больше 1 или меньше 0 из-за перепутанных областей либо арифметической ошибки. Размер части не бывает больше размера целого и не бывает отрицательным. Поэтому после вычислений обязательно проверьте неравенство 0 ≤ P ≤ 1.

Связь с другими темами

Для геометрической вероятности нужны отношения величин, длины отрезков, площади основных фигур и формула площади круга. Эти знания позволяют заменить словесное условие точными вычислениями. Поэтому полезно заранее повторить Sпрям = ab, Sтреуг = ½ah и Sкруга = πR².

Тема продолжает изучение вероятности случайного события. В задачах с конечным числом равновозможных исходов считают число подходящих исходов, а здесь сравнивают геометрические размеры бесконечного множества положений. Метод применяется к случайным попаданиям, измерениям, оценке надёжности и математическому моделированию.

Что запомнить

• Геометрическая вероятность равна отношению размера благоприятной области к размеру всей области возможных попаданий.
• На отрезке сравнивают длины, на плоскости — площади, в пространстве — объёмы.
• Сначала определяют область возможных попаданий, затем благоприятную область.
• Вероятность лежит в пределах от 0 до 1.
• Площадь составной благоприятной области находят сложением или вычитанием площадей частей.
• Границы отдельных участков обычно не влияют на результат.