6.4 Сложные эксперименты

Определения и обозначения

Сложный эксперимент — опыт, состоящий из нескольких последовательно или одновременно выполняемых простых экспериментов. Например, можно дважды бросить монету или бросить кость и подбросить монету. Это понятие нужно, чтобы изучать общий результат нескольких действий как одну случайную ситуацию.

Элементарный исход — один конкретный результат сложного эксперимента, заданный результатами всех его этапов. При двух бросках монеты это, например, «орёл, решка», а не просто «орёл». Такие исходы образуют полный список вариантов, среди которых ищут благоприятные.

Дерево исходов — схема, показывающая все варианты развития сложного эксперимента по этапам. Из одной точки выходят ветви первого шага, затем от каждой ветви — варианты следующего. Дерево помогает увидеть каждый путь от начала до конца и не пропустить исход.

Независимые эксперименты — эксперименты, результат одного из которых не влияет на результат другого. Например, выпадение числа на кости не меняет шансы орла или решки при подбрасывании монеты. Для независимых этапов удобно перемножать число вариантов и вероятности соответствующих результатов.

Как это устроено

Сложный эксперимент сначала разделяют на этапы, потому что каждый этап имеет свой набор возможных результатов. Например, при броске кости и монеты первый этап даёт число от 1 до 6, а второй — орла или решку. Полный исход должен сообщать результат обоих действий: «4 и решка», поэтому отдельный результат одного этапа ещё не описывает весь опыт.

Дерево исходов строят слева направо или сверху вниз. От начальной точки проводят ветви для результатов первого этапа, а от конца каждой ветви — варианты второго и последующих этапов. Один путь от начала до конца задаёт элементарный исход, потому что в нём последовательно указано, что произошло на каждом шаге.

Если этапы независимы, любой результат первого этапа можно соединить с любым результатом второго. При m вариантах первого этапа и n вариантах второго каждый из m вариантов получает по n продолжений, поэтому всего получается m · n путей. Для трёх этапов рассуждение повторяется: общее число исходов равно n₁ · n₂ · n₃.

Чтобы найти вероятность события, на дереве отмечают пути, которые ему соответствуют. Если все элементарные исходы равновероятны, используют формулу P(A) = k / N, где k — число благоприятных путей, а N — число всех путей. Такой подсчёт работает потому, что каждый путь имеет одинаковый шанс и событие состоит именно из отмеченных исходов.

На разных этапах число вариантов может отличаться, а часть сочетаний может быть невозможной. Тогда перемножают не одинаковые числа, а число допустимых продолжений на каждом шаге; иногда оно зависит от уже полученного результата. Если ветви имеют разные вероятности, сначала находят вероятность каждого подходящего пути и только потом складывают их.

Подсчёт исходов сложного эксперимента

Таблица помогает выбрать способ подсчёта до выполнения вычислений. В столбцах указаны варианты этапов и общее число путей, а последняя колонка напоминает, как перейти от исходов к вероятности события. Если условия меняются после первого шага, нужно считать только реально доступные продолжения.

Разбор задач

Задача 1

Монету подбрасывают два раза. Нужно перечислить элементарные исходы и найти вероятность того, что орёл выпал ровно один раз. Оба этапа имеют по два результата и независимы, поэтому все комбинации равновероятны.

1. После первого броска возможны орёл и решка. От каждой ветви второго броска идут ещё две ветви.
2. Получаем исходы: орёл—орёл, орёл—решка, решка—орёл, решка—решка.
3. Орёл ровно один раз встречается в двух исходах: орёл—решка и решка—орёл. Всего исходов 2 · 2 = 4, поэтому P = 2 / 4 = ½.

Ответ: элементарные исходы перечислены выше; вероятность события равна ½.

Задача 2

Бросают игральную кость и подбрасывают монету. Найдём вероятность события «выпало чётное число и решка». Результаты броска кости и монеты независимы, поэтому можно использовать и дерево, и произведение вероятностей.

1. У кости 6 вариантов, у монеты 2, значит всего 6 · 2 = 12 равновероятных исходов.
2. Чётные числа на кости — 2, 4 и 6, а нужный результат монеты — решка. Благоприятные пары: (2, решка), (4, решка), (6, решка), их 3.
3. Вероятность равна 3 / 12 = ¼. То же получается умножением: 3 / 6 · 1 / 2 = ¼.

Ответ: ¼.

Задача 3

Из цифр 1, 2, 3, 4 составляют двузначное число без повторения цифр. Требуется найти вероятность того, что число делится на 3. Здесь этапы не полностью независимы: после выбора первой цифры такую же цифру выбирать нельзя.

1. Для десятков есть 4 варианта, для единиц после этого остаётся 3, поэтому всего 4 · 3 = 12 чисел.
2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Подходящие пары: 1 и 2 дают числа 12 и 21, а 2 и 4 — числа 24 и 42.
3. Благоприятных исходов 4 из 12, поэтому P = 4 / 12 = ⅓. Запрещённые числа с одинаковыми цифрами вообще не включаются в общее число.

Ответ: ⅓.

Типичные ошибки

Ошибка: считать результат каждого этапа отдельным исходом. Так при двух бросках монеты получают только «орёл» и «решка», хотя исход должен включать оба броска. Проверка: спросите себя, можно ли по записи восстановить результат каждого этапа.

Ошибка: складывать числа вариантов последовательных независимых этапов. Складывают 2 + 2, но правильное число комбинаций равно 2 · 2, потому что каждый вариант первого шага соединяется с каждым вариантом второго. Проверка: нарисуйте хотя бы первые ветви дерева.

Ошибка: включать запрещённые или невозможные комбинации. Например, при составлении числа без повторения нельзя учитывать 11 или 22. Проверка: для каждого пути отдельно проверьте условие задачи.

Ошибка: считать исходы равновероятными без проверки. Разные ветви могут иметь разные шансы, особенно если число продолжений зависит от предыдущего результата. Проверка: сравните вероятности путей, прежде чем применять формулу «благоприятные к общему числу».

Связь с другими темами

До этой темы нужны понятия случайного события, элементарного исхода, равновероятных исходов и формула вероятности. Также пригодятся правила сложения и умножения, действия с дробями и подсчёт вариантов. Дальше деревья исходов и правило умножения встречаются в комбинаторике, задачах на независимые события, условной вероятности и статистических моделях.

Что запомнить

• Сложный эксперимент состоит из нескольких этапов.
• Элементарный исход задаётся полной последовательностью результатов всех этапов.
• Дерево исходов помогает не пропустить варианты и не посчитать их дважды.
• При независимых этапах число всех комбинаций равно произведению чисел вариантов.
• Вероятность события равна отношению числа благоприятных равновероятных исходов к числу всех исходов.
• Перед подсчётом нужно проверить, какие комбинации действительно возможны.
• При разных вероятностях исходов нельзя автоматически применять формулу для равновероятных случаев.