§ 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики

Определения и обозначения

Равновозможные исходы — исходы испытания, каждый из которых имеет одинаковую вероятность. Например, при броске правильной игральной кости выпадение каждой грани равновозможно. Это условие необходимо для классической формулы: если шансы неодинаковы, одного подсчёта исходов недостаточно, чтобы узнать вероятность.

Благоприятный исход — исход, при котором происходит рассматриваемое событие. Если событие состоит в выпадении числа больше 4, то благоприятны исходы 5 и 6. Подсчёт таких исходов показывает, сколько вариантов из всех приводит к нужному результату.

Классическая вероятность события — отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Если благоприятных исходов m, а всех исходов n, то P(A) = m/n. Формула позволяет сравнить число подходящих вариантов с полным числом вариантов испытания.

Правило умножения — способ подсчёта числа вариантов, когда выбор состоит из нескольких последовательных шагов. Если на первом шаге есть a вариантов, а для каждого из них на втором — b, всего получается a · b вариантов. Правило помогает считать сложные исходы, не перечисляя каждый из них по отдельности.

Как это устроено

Сначала нужно точно определить, что считается одним исходом испытания. Например, при броске кости исходом будет выпавшее число, а при броске монеты и кости — пара «сторона монеты, число на кости». Перечень должен включать все возможные результаты и учитывать каждый ровно один раз. Иначе изменится общее число исходов, а вместе с ним и вычисленная вероятность.

Делить число благоприятных исходов на общее число можно потому, что при равных шансах каждый исход занимает одинаковую долю вероятности. Если исходов n, то на каждый приходится доля 1/n, а m подходящих исходов вместе дают m/n. При неодинаковых шансах отдельные доли уже не равны, поэтому количество вариантов само по себе не определяет вероятность события.

Правило умножения применяют, когда результат складывается из последовательных выборов. Для каждого варианта первого шага считают, сколько продолжений допускает следующий шаг; если число продолжений одинаково, достаточно перемножить количества вариантов шагов. Если выборы ограничивают друг друга, на каждом шаге нужно считать именно доступные продолжения, а не механически использовать прежнее число. Так каждый полный вариант учитывается один раз.

Правило сложения удобно, когда событие может произойти одним из нескольких несовместных способов. Несовместные варианты не могут произойти одновременно в рамках одного исхода, поэтому их группы не пересекаются и их количества складываются. Например, число можно получить с последней цифрой 2 или с последней цифрой 4: если эти случаи не пересекаются, складываем число вариантов каждого случая. Если группы пересекаются, без дополнительной проверки складывать нельзя — общие варианты посчитаются дважды.

Сложное событие часто проще считать по отдельным случаям. Сначала находят общее число исходов, затем разбивают подходящие результаты на группы, для которых подсчёт легче. Внутри группы применяют правило умножения, а количества в несовместных группах складывают. В конце число благоприятных исходов делят на общее число равновозможных исходов и проверяют, что ни один результат не потерян и не учтён повторно.

Подсчёт исходов и вычисление вероятности

Сначала определите, что именно считается исходом, а затем выберите способ подсчёта: шаги или несовместные случаи. В последней строке таблицы используется классическая формула, поэтому перед её применением проверьте равновозможность исходов.

Разбор задач

Задача 1

Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа, большего 4. Кость считается правильной, поэтому каждое число от 1 до 6 имеет одинаковый шанс выпасть. Это позволяет применить классическую формулу вероятности.

1. Перечислим все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего их 6.
2. Числа, большие 4, — это 5 и 6. Значит, благоприятных исходов 2.
3. Вычислим вероятность: P = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3. Такой подсчёт работает, потому что исходы равновозможны и каждый результат кости учтён один раз.

Задача 2

Монету и игральную кость бросают одновременно. Найдите вероятность того, что выпадет орёл и число, кратное 3. Исходом испытания считаем пару из результата монеты и числа на кости. Все пары равновозможны: каждый результат монеты сочетается с каждым результатом кости.

1. У монеты 2 исхода, у кости 6. По правилу умножения всего пар 2 · 6 = 12.
2. Числа на кости, кратные 3, — 3 и 6. Для каждого из них подходит только один результат монеты — орёл, поэтому благоприятных пар 1 · 2 = 2.
3. Найдём вероятность: P = 2/12 = 1/6.

Ответ: 1/6. Мы перемножили количества вариантов на разных шагах, потому что полный исход включает и результат монеты, и результат кости.

Задача 3

Из цифр 1, 2, 3, 4 случайно составляют двузначное число без повторения цифр. Найдите вероятность того, что число чётное. Исходы — сами числа, а не наборы использованных цифр: например, 12 и 21 различаются. Все полученные числа считаем равновозможными.

1. На место десятков можно поставить любую из 4 цифр, а на место единиц — одну из оставшихся 3. Всего чисел 4 · 3 = 12.
2. Чётное число должно оканчиваться на 2 или 4. Если единицы — 2, на десятки можно поставить 1, 3 или 4: это 3 числа.
3. Если единицы — 4, на десятки можно поставить 1, 2 или 3: ещё 3 числа. Случаи несовместны, поэтому благоприятных исходов 3 + 3 = 6.
4. Находим вероятность: P = 6/12 = 1/2.

Ответ: 1/2. Разбиение по последней цифре удобно, потому что именно она определяет чётность, а выбранные случаи не пересекаются.

Типичные ошибки

Не проверять равновозможность исходов. Можно посчитать варианты и сразу подставить числа в классическую формулу, хотя шансы исходов неодинаковы. Такая ошибка возникает, когда считают, что любой список вариантов автоматически подходит для формулы. Проверьте, одинаков ли шанс каждого исхода; если нет, потребуется учитывать вероятности отдельных исходов.

Не учитывать порядок, когда он меняет результат. При составлении двузначных чисел 12 и 21 — разные исходы, а не один вариант с цифрами 1 и 2. Путаница появляется, если считать только использованные цифры и забыть, что одна стоит на десятках, а другая на единицах. Для проверки выпишите несколько примеров и спросите себя, дают ли перестановки разные результаты.

Путать правила умножения и сложения. Умножение подходит для последовательных шагов, а сложение — для выбора одного из несовместных случаев. Ошибка возникает, когда ориентируются лишь на то, что в условии есть несколько вариантов, не выясняя, как они связаны. Нарисуйте схему шагов или разделите событие на случаи и проверьте, относятся ли варианты к одному исходу одновременно.

Делить не на общее число исходов или учитывать исход дважды. Даже правильно найденное число благоприятных исходов не даст вероятность без знаменателя, равного числу всех равновозможных исходов испытания. Иногда часть исходов пропускают или включают в две группы сразу. Сверьте общее количество с перечнем или правилом подсчёта и убедитесь, что группы благоприятных исходов не пересекаются.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки перечисления исходов, работы с дробями и умение различать последовательные выборы и альтернативные варианты. Эти знания помогают не только подставлять числа в формулу, но и правильно определить, что считать одним исходом. Правила комбинаторного подсчёта применяются в задачах на вероятность, когда вариантов слишком много для полного перечисления. Позже они послужат основой для более сложных способов подсчёта сочетаний и размещений.

Что запомнить

• Классическая формула вероятности применима к равновозможным исходам.
• Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• При последовательных выборах число вариантов обычно находят по правилу умножения.
• При подсчёте несовместных альтернатив используют правило сложения.
• Каждый исход нужно учитывать ровно один раз.
• Вероятность события не меньше 0 и не больше 1.