§ 42 Функция у = k/x и её график

Определения и обозначения

Обратная пропорциональность — функция вида y = k/x, где x ≠ 0, а k — постоянное ненулевое число. Здесь каждому разрешённому значению x соответствует одно значение y. Такая формула показывает зависимость, при которой увеличение x по модулю приводит к уменьшению y по модулю.

Коэффициент обратной пропорциональности k — постоянное число в формуле y = k/x. Его знак определяет, в каких четвертях координатной плоскости окажутся ветви графика. Модуль k влияет на то, насколько далеко точки графика расположены от осей, поэтому коэффициент нужен для точного построения.

Гипербола — график функции y = k/x, состоящий из двух отдельных ветвей. Ветви не соединяются в одну линию около начала координат. Это название помогает отличать такой график от прямой, параболы и других знакомых кривых.

Как это устроено

Число x не может быть равно нулю, потому что выражение k/0 не имеет смысла: деление на ноль не определено. Поэтому область определения функции — все числа, кроме нуля. Например, значения x = −3, 1 и 10 подходят, а x = 0 использовать нельзя.

Чтобы построить график по таблице, сначала выбирают несколько ненулевых значений x, обычно удобных для вычислений. Затем для каждого значения находят y по формуле y = k/x и записывают пары координат. Нанесённые точки показывают, где должны проходить ветви гиперболы; чем больше точек выбрано, тем точнее получится рисунок.

Расположение ветвей определяется знаками множителей. При k > 0 произведение x · y положительно, значит, x и y имеют одинаковые знаки: положительные координаты дают первую четверть, отрицательные — третью. При k < 0 произведение отрицательно, поэтому координаты имеют разные знаки, и ветви оказываются во второй и четвёртой четвертях.

График распадается на две ветви, потому что вертикальная ось x = 0 недоступна, а к горизонтальной оси ветви не могут прийти в точке с y = 0. Действительно, при x ≠ 0 и k ≠ 0 дробь k/x также не равна нулю. Поэтому гипербола не пересекает ни ось y, ни ось x, хотя её ветви могут приближаться к ним.

Симметрия относительно начала координат следует из вычисления f(−x) = k/(−x) = −k/x = −f(x). Значит, если точка (x; y) принадлежит графику, то точка (−x; −y) тоже ему принадлежит. Например, точке (2; 3) соответствует точка (−2; −3), и обе точки находятся на противоположных ветвях.

Свойства функции y = k/x

Сначала определите знак коэффициента, чтобы выбрать нужные четверти. Затем проверьте ограничения: x и y не должны быть равны нулю. Таблица удобна как краткая проверка свойств перед построением или решением задачи.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 6/x составить таблицу значений при x = −3, −2, 2, 3 и построить график. Все выбранные значения допустимы, потому что они не равны нулю. После вычислений получатся точки на двух ветвях.

1. Вычислим значения: при x = −3 получаем y = 6/(−3) = −2, а при x = −2 получаем y = −3.
2. Для положительных аргументов имеем y = 6/2 = 3 и y = 6/3 = 2. Таблица даёт точки (−3; −2), (−2; −3), (2; 3), (3; 2).
3. Отметим точки на координатной плоскости и проведём через них две плавные ветви. Так как k = 6 > 0, ветви должны находиться в первой и третьей четвертях.

Ответ: таблица значений: x: −3, −2, 2, 3; y: −2, −3, 3, 2. График — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях.

Задача 2. Определить четверти графика y = −4/x и построить его по нескольким точкам. Коэффициент отрицательный, поэтому координаты точки должны иметь разные знаки. Для построения возьмём, например, x = −4, −2, 2 и 4.

1. Найдём значения: y = 1, 2, −2 и −1 соответственно. Получаем точки (−4; 1), (−2; 2), (2; −2), (4; −1).
2. Точки с отрицательным x и положительным y лежат во второй четверти, а точки с положительным x и отрицательным y — в четвёртой.
3. Нанесём точки и проведём две отдельные ветви, приближающиеся к осям, но не пересекающие их.

Ответ: график расположен во второй и четвёртой четвертях. Для него подходят, например, точки (−4; 1), (−2; 2), (2; −2), (4; −1).

Задача 3. Точка A(−2; 3) принадлежит графику функции y = k/x. Требуется найти k и записать формулу функции. Координаты точки можно подставить в исходное равенство, потому что её x-координата не равна нулю.

1. Подставим x = −2 и y = 3: 3 = k/(−2).
2. Умножим обе части равенства на −2: k = −6. Это также можно получить сразу по формуле k = x · y.
3. Подставим найденный коэффициент в общий вид: y = −6/x. Проверка даёт −6/(−2) = 3, значит, точка действительно принадлежит графику.

Ответ: k = −6; функция имеет вид y = −6/x. Её ветви расположены во второй и четвёртой четвертях.

Типичные ошибки

Включают x = 0 в область определения. Так происходит, когда ученик воспринимает x как любое число и забывает о делении. Проверьте формулу: если переменная стоит в знаменателе, ноль нужно исключить.

Считают, что график пересекает оси. Ошибка возникает при попытке дорисовать кривую до начала координат. Подставьте условия осей: на оси y нужно x = 0, а на оси x — y = 0; оба варианта невозможны.

Выбирают неверные четверти. Обычно не учитывают знак коэффициента или путают знак дроби. Возьмите любое положительное x и определите знак y: при k > 0 он положительный, при k < 0 — отрицательный, после чего найдите вторую симметричную ветвь.

Соединяют ветви через оси. Ученик может провести одну непрерывную кривую, потому что точки находятся близко к осям. Проверьте, нет ли среди соединяемых точек значений x = 0 или y = 0, и оставьте две отдельные ветви.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки подстановки чисел в формулу, вычисления дробей и построения точек на координатной плоскости. Знание линейной функции помогает сравнить разные способы задания и графики функций. Позже обратная пропорциональность пригодится при изучении преобразований графиков и решении уравнений графическим способом.

Что запомнить

• Функция обратной пропорциональности имеет вид y = k/x, где k ≠ 0.
• При x = 0 функция не определена.
• Область значений функции — все ненулевые числа.
• При k > 0 ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях.
• При k < 0 ветви гиперболы находятся во второй и четвёртой четвертях.
• График не пересекает координатные оси и симметричен относительно начала координат.