§ 41 Свойство степени с целым показателем

Определения и обозначения

Показатель степени показывает, сколько раз основание умножается само на себя, если показатель натуральный. Целым показателем называют любое целое число: положительное, ноль или отрицательное. Например, в записи 3⁴ показатель равен 4, а в записи 3⁻² — −2. Расширение показателей позволяет использовать общие правила не только для обычных степеней, но и для дробей.

Степенью с нулевым показателем называют выражение a⁰, где a — основание и a ≠ 0. По определению a⁰ = 1. Нулевое основание здесь исключено, потому что нулевая степень вводится через деление, а делить на ноль нельзя.

Степенью с отрицательным целым показателем называют выражение a⁻ⁿ, где a ≠ 0, а n — натуральное число. Её определяют равенством a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Это определение удобно, когда нужно заменить дробь степенью или выполнить преобразование по правилам степеней.

Свойство умножения степеней с одинаковым основанием записывают так: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Если показатели m и n целые, основание должно быть ненулевым, чтобы степени с отрицательными показателями были определены. При умножении основание не меняется, а показатели складываются.

Как это устроено

Чтобы понять, почему a⁰ = 1, возьмём ненулевое a и разделим aⁿ на само себя. Результат равен 1, потому что любое ненулевое число, делённое на себя, даёт единицу. По правилу деления степеней то же выражение равно aⁿ⁻ⁿ, то есть a⁰. Значит, значение нулевой степени должно быть равно 1, иначе правило деления перестало бы работать.

Отрицательный показатель вводят так, чтобы сохранялось правило деления степеней: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Если m = 0, получается a⁰ : aⁿ = a⁻ⁿ. Так как a⁰ = 1, правая часть исходного деления должна соответствовать дроби 1/aⁿ. Поэтому a⁻ⁿ = 1/aⁿ, и основание обязано быть ненулевым.

Правило умножения также следует из смысла степени: при натуральных показателях множители можно пересчитать. Например, a³ · a² содержит три множителя a и ещё два, всего пять; значит, это a⁵. Для целых показателей правило сохраняется благодаря определениям нулевой и отрицательной степеней: при ненулевом основании aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Идея в том, что одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются, а остаётся разность их количеств. Нулевое основание в таком правиле недопустимо: деление на него не определено, а отрицательная степень нуля тоже привела бы к делению на ноль.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Например, если возвести a³ в квадрат, получится a³ · a³, то есть шесть множителей a и результат a⁶. Это не то же действие, что умножение двух степеней: при умножении показатели складывают, а при возведении степени в степень — перемножают.

Свойства степени с целым показателем

Сначала найди в выражении действие, к которому подходит правило: умножение, деление или возведение в степень. Затем проверь основания и ограничения, особенно если есть отрицательные показатели. Таблица помогает не смешивать правила сложения и умножения показателей.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2³ · 2⁻⁵. Основания одинаковые, поэтому можно применить правило умножения и сложить показатели. Получившуюся степень с отрицательным показателем затем заменим дробью.

1. Складываем показатели: 2³ · 2⁻⁵ = 2³⁺⁽⁻⁵⁾ = 2⁻².
2. По определению отрицательной степени: 2⁻² = 1/2².
3. Вычисляем квадрат двойки: 1/2² = 1/4.

Ответ: 1/4. Проверка показывает, что множителей 2 в результате на два меньше, чем в первой степени, поэтому и получается обратная степень 2⁻².

Задача 2. Упростите (x⁻²)³ · x⁸ при x ≠ 0. Здесь есть возведение степени в степень, а затем умножение степеней с одинаковым основанием. Удобнее выполнить эти действия по порядку, чтобы не смешать правила для показателей.

1. Возводим степень в степень и перемножаем показатели: (x⁻²)³ = x⁻⁶.
2. Умножаем степени с основанием x и складываем показатели: x⁻⁶ · x⁸ = x⁻⁶⁺⁸.
3. Вычисляем показатель: x².

Ответ: x². Отрицательный показатель исчез, потому что положительная степень x⁸ превосходит по показателю x⁻⁶.

Задача 3. Упростите (a⁻³ · b²)² : (a² · b⁻¹), где a ≠ 0 и b ≠ 0, и представьте результат без отрицательных показателей. Сначала раскроем степень произведения, затем возведём каждую степень в квадрат. После этого разделим степени с одинаковыми основаниями и заменим отрицательные показатели дробями.

1. Применяем правило степени произведения: (a⁻³ · b²)² = (a⁻³)² · (b²)².
2. Перемножаем показатели: a⁻⁶ · b⁴. Всё выражение имеет вид (a⁻⁶ · b⁴) : (a² · b⁻¹).
3. Для основания a вычитаем показатели: a⁻⁶ : a² = a⁻⁸. Для b также вычитаем: b⁴ : b⁻¹ = b⁵.
4. Получаем a⁻⁸ · b⁵. Заменяем a⁻⁸ на 1/a⁸ и записываем произведение как дробь: b⁵/a⁸.

Ответ: b⁵/a⁸. Ненулевые значения a и b нужны, чтобы выражения с отрицательными показателями и деление были определены.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a⁰ = 0. Её допускают, путая нулевой показатель с умножением на ноль; но показатель показывает степень, а не число множителей, равное нулю. Проверь себя делением aⁿ на aⁿ: при a ≠ 0 частное равно 1, значит, a⁰ = 1.

Ошибка: записывать a⁻ⁿ = −aⁿ. Минус в этой записи относится к показателю, а не ставится перед степенью. Проверь равенство на простом примере: 2⁻² = 1/2² = 1/4, а не −4.

Ошибка: умножать показатели при умножении степеней с одинаковым основанием. Так поступают, потому что путают это действие с возведением степени в степень. Для проверки сравни два правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, но (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Ошибка: применять правила для отрицательных показателей при нулевом основании. В таком случае определение потребовало бы деления на ноль, которое невозможно. Перед преобразованием проверь, что основание каждой степени с отрицательным показателем не равно нулю.

Связь с другими темами

Для работы с целыми показателями нужны определение степени с натуральным показателем и правила умножения и деления степеней. Они объясняют, почему показатели при умножении складываются, а при делении вычитаются. Новые определения расширяют уже знакомые свойства.

Отрицательные показатели позволяют записывать дроби в виде степеней: например, 1/a³ = a⁻³ при a ≠ 0. Это помогает короче записывать выражения и упрощать алгебраические преобразования. Такие записи встречаются в следующих темах курса.

Свойства целых степеней используют при преобразовании одночленов и дробных выражений. Они также пригодятся при изучении стандартного вида числа. Умение следить за ограничениями не позволяет допускать деление на ноль.

Что запомнить

• Для любого a ≠ 0: a⁰ = 1.
• Для a ≠ 0 и натурального n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• Основание степени с отрицательным показателем не может быть равно нулю.