§ 40 Степень с нулевым и целым отрицательным показателем

Определения и обозначения

Нулевая степень ненулевого числа a — это степень с показателем 0; по определению a⁰ = 1 при a ≠ 0. Например, 7⁰ = 1, а не 0. Это правило позволяет продолжить свойства степеней на случай, когда показатель при делении становится равным нулю.

Отрицательный целый показатель означает, что степень заменяют дробью: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, если a ≠ 0, а n — натуральное число. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Такое обозначение удобно для короткой записи обратного числа и преобразования выражений.

Степенью с целым показателем называют степень, показатель которой — целое число: положительное, ноль или отрицательное. Поэтому a³, a⁰ и a⁻³ относятся к одному виду записи, хотя вычисляются по разным правилам. Это понятие нужно, чтобы единообразно работать со степенями в формулах и выражениях.

Как это устроено

Чтобы понять правило a⁰ = 1, возьмём ненулевое число a и разделим его степень на такую же степень: aᵐ/aᵐ = 1. По свойству частного степеней с одинаковым основанием это частное равно aᵐ⁻ᵐ, то есть a⁰. Получается, что a⁰ = 1. Условие a ≠ 0 обязательно: исходное частное aᵐ/aᵐ при нулевом основании не имеет смысла.

Отрицательную степень вводят так, чтобы сохранилось знакомое правило деления степеней. Если m меньше n, то aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; при этом, сократив одинаковые множители, получаем 1/aⁿ⁻ᵐ. Обозначив разность n − m через k, видим, что a⁻ᵏ = 1/aᵏ. Поэтому правило отрицательной степени не случайная договорённость, а продолжение свойства, которое уже работает для положительных показателей.

Минус в показателе не означает, что всё значение степени нужно сделать отрицательным. Он указывает на обратное число: например, 3⁻² = 1/3² = 1/9, а не −9. Знак результата зависит от основания и того, в какую степень оно возводится: (−3)⁻² = 1/9, но (−3)⁻¹ = −1/3. Значит, сначала находят положительную степень основания, затем берут обратное число.

При вычислении степени с нулевым показателем сначала заменяют её единицей, а при отрицательном — дробью с единицей в числителе. Например, 5⁰ + 2⁻² = 1 + 1/4 = 5/4. Если в выражении есть несколько действий, после такой замены применяют обычный порядок действий и сокращают дроби, когда это возможно. Этот способ помогает не спутать показатель со знаком числа.

Для нулевого и отрицательного показателя основание должно быть ненулевым. В случае 0⁰ правило нулевой степени потребовало бы применить формулу при основании, для которого нельзя использовать деление одинаковых степеней; поэтому в рамках этих правил выражение не определено. Для 0⁻ⁿ пришлось бы записать 1/0ⁿ, а это деление на ноль. Следовательно, ни 0⁰, ни 0⁻ⁿ вычислять нельзя.

Степени с нулевым и отрицательным показателем

Пользуйся таблицей как памяткой: найди нужный случай, проверь условие на основание и только потом преобразуй запись. Особенно внимательно проверяй, есть ли скобки вокруг отрицательного основания. Последняя строка показывает, какие выражения нельзя применять по этим правилам.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 7⁰ и 2⁻³.

1. Для 7⁰ применяем правило нулевой степени: основание 7 не равно нулю, значит, 7⁰ = 1.
2. В степени 2⁻³ отрицательный показатель заменяем дробью: 2⁻³ = 1/2³.
3. Вычисляем положительную степень: 2³ = 8, поэтому 2⁻³ = 1/8.

Ответ: 1 и 1/8. В первом примере показатель обнуляет степень до единицы, а во втором отрицательный показатель даёт обратное число.

Задача 2. Вычислите (−3)⁻² + 5⁰.

1. Сначала преобразуем обе степени: (−3)⁻² = 1/(−3)², а 5⁰ = 1.
2. Возводим отрицательное основание в чётную степень: (−3)² = 9, поэтому первая степень равна 1/9.
3. Складываем: 1/9 + 1 = 1/9 + 9/9 = 10/9.

Ответ: 10/9. Скобки показывают, что в основание входит всё число −3, а чётная степень делает его положительным.

Задача 3. Упростите (2⁻² · 2⁵) / 2⁰ и представьте ответ без отрицательных показателей.

1. В числителе умножаются степени с одинаковым основанием, поэтому складываем показатели: 2⁻² · 2⁵ = 2⁻²⁺⁵ = 2³.
2. Деление на 2⁰ не меняет числитель, так как 2⁰ = 1. Получаем 2³/1 = 2³.
3. В выражении после упрощения отрицательного показателя уже нет; вычисляем 2³ = 8 и проверяем, что деление на ноль не возникало.

Ответ: 8. Сначала удобно применить свойства степеней, а затем проверить, остались ли отрицательные показатели.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a⁰ = 0. Так путают нулевой показатель с нулевым основанием, хотя при a ≠ 0 нулевая степень равна 1. Чтобы проверить себя, подставь, например, 7: деление 7³/7³ равно 1, значит, и 7⁰ должно быть равно 1.

Ошибка: записывать a⁻ⁿ = −aⁿ. Минус в показателе принимают за знак перед числом, хотя он означает обратное число. Проверь запись на 2⁻²: верное преобразование — 1/2² = 1/4, а не −4.

Ошибка: применять правила для нулевого или отрицательного показателя при a = 0. Это происходит, если забыть, что формула для отрицательной степени приводит к делению, а делить на ноль нельзя. Перед преобразованием всегда проверь основание: выражения 0⁰ и 0⁻ⁿ не определены.

Ошибка: терять скобки у отрицательного основания и смешивать (−2)⁻² с −2⁻². В первой записи основание — −2, во второй степень относится только к 2, а минус стоит перед результатом. Проверка простая: сначала выдели основание; получатся 1/(−2)² = 1/4 и −1/2² = −1/4.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение степени с натуральным показателем и свойства произведения и частного степеней с одинаковым основанием. Они помогают обосновать новые правила и упрощать выражения. Степени с нулевым и отрицательным показателем пригодятся при преобразовании дробей и алгебраических выражений с буквами. Позже эти правила позволят работать со степенями, у которых показатель — любое целое число.

Что запомнить

• Для a ≠ 0: a⁰ = 1.
• Для a ≠ 0 и натурального n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Отрицательный показатель означает переход к обратному числу, а не отрицательное значение степени.
• Нулевое и отрицательное значение показателя требуют ненулевого основания.
• При упрощении степеней сначала применяй свойства, затем при необходимости убирай отрицательные показатели.