§ 6. Линейная функция

Определения и обозначения

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — заданные числа. По этой формуле каждому допустимому значению x соответствует единственное значение y. Такая запись позволяет вычислять значения функции и исследовать её график.

Коэффициент k — число, стоящее при x. Он показывает, как меняется y при изменении x, а также задаёт направление и наклон графика: знак k определяет подъём или спуск прямой. Поэтому по k можно заранее понять, возрастает функция или убывает.

Свободный член b — слагаемое, в котором нет x. Если x = 0, то y = k · 0 + b = b. Значит, b сразу сообщает значение функции в нуле и помогает найти пересечение графика с осью y.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле y = kx + b. Каждая такая точка имеет вид (x; y). Изображение графика помогает увидеть свойства функции и сравнить её значения.

Как это устроено

Пусть x изменился на одну и ту же величину, например на Δx. Тогда слагаемое kx изменится на k · Δx, а число b останется прежним. Поэтому y каждый раз меняется одинаково, и точки не изгибаются, а выстраиваются на одной прямой.

Для построения графика сначала выбирают несколько удобных значений x, например −1, 0 и 1. Для каждого значения подставляют x в формулу и находят y, после чего отмечают точки с полученными координатами. Через две точки проводят прямую, а остальные точки помогают проверить точность построения.

Коэффициент k определяет направление прямой, потому что показывает изменение y при увеличении x на единицу. При k > 0 значение y растёт, поэтому прямая поднимается слева направо. При k < 0 y уменьшается, а при k = 0 слагаемое kx исчезает и получается горизонтальная прямая.

Чтобы узнать пересечение с осью y, нужно использовать её главное свойство: на этой оси x = 0. Подстановка даёт y = b, поэтому точка пересечения имеет координаты (0; b). Изменение b переносит прямую вверх или вниз, но не меняет её наклон, если k остаётся тем же.

Если b = 0, формула превращается в y = kx, и график проходит через начало координат (0; 0). Если k = 0, получается y = b: результат не зависит от x, поэтому все точки имеют одну и ту же ординату. Такой график является горизонтальной прямой, а функция называется постоянной.

Вид линейной функции и её график

Сначала найдите в таблице общий вид или частный случай функции. Затем посмотрите на значение k, чтобы определить направление, и на b, чтобы установить пересечение с осью y. Если в строке указано b = 0 или k = 0, используйте соответствующее особое свойство.

Одна и та же функция может подходить сразу под несколько описаний. Например, y = 3x имеет b = 0 и при этом возрастает, потому что k = 3 > 0.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 2x + 1 найдём значение y при x = 3 и определим точку графика. Координата x уже известна, поэтому остаётся вычислить вторую координату. Полученная пара чисел и будет точкой графика.

1. Подставим x = 3 в формулу: y = 2 · 3 + 1.
2. Вычислим: y = 6 + 1 = 7.
3. Запишем координаты: x = 3, y = 7, значит, точка имеет вид (3; 7).

Ответ: y = 7; точка графика — (3; 7).

Задача 2

Построим график функции y = −x + 2 по двум точкам. Удобно выбрать такие значения x, при которых вычисления выполняются устно. После нахождения координат отметим точки и проведём через них прямую.

1. Возьмём x = 0: y = −0 + 2 = 2, получаем точку (0; 2).
2. Возьмём x = 2: y = −2 + 2 = 0, получаем точку (2; 0).
3. Отметим точки (0; 2) и (2; 0) на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Ответ: график — прямая через точки (0; 2) и (2; 0), направленная вниз слева направо.

Задача 3

График функции y = kx + b проходит через точки (0; −2) и (2; 4). Нужно найти оба коэффициента и записать формулу функции. Сначала используем точку с нулевой абсциссой, потому что она сразу даёт свободный член.

1. Подставим (0; −2): −2 = k · 0 + b, поэтому b = −2.
2. Подставим (2; 4): 4 = 2k − 2.
3. Прибавим 2: 6 = 2k, откуда k = 3.
4. Подставим найденные числа в общий вид: y = 3x − 2.

Ответ: k = 3, b = −2, функция y = 3x − 2.

Типичные ошибки

Ошибка — считать b коэффициентом при x. В записи y = kx + b именно k умножается на x, а b не зависит от x; путаница возникает из-за того, что оба числа являются частью формулы. Проверьте себя: мысленно выделите слагаемое, содержащее x.

Иногда b принимают за абсциссу точки пересечения с осью y. Это неверно, потому что на оси y всегда x = 0, а b является значением y. Запишите координаты полностью: (0; b).

Построение по одной точке не задаёт единственную прямую: через одну точку можно провести бесконечно много прямых. Ошибка появляется, когда находят только значение при x = 0. Найдите как минимум две точки с разными абсциссами.

Некоторые считают, что при k = 0 графика нет. На самом деле формула становится y = b, и каждой точке с подходящей абсциссой соответствует одна и та же ордината. Проверьте результат на нескольких x: все точки окажутся на горизонтальной прямой.

Связь с другими темами

До изучения линейной функции нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и вычислять значение выражения при заданном x. Эти навыки нужны при составлении таблицы значений и построении графика.

Тема опирается на понятие функции и способы задания зависимости формулой или таблицей. Понимание того, что каждому x соответствует определённое y, помогает правильно читать графики.

Линейные функции пригодятся при изучении систем линейных уравнений. Решение системы можно связывать с координатами точки пересечения графиков двух функций.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух её точек.
• При x = 0 значение функции равно b.
• Если k > 0, функция возрастает; если k < 0, убывает.
• При k = 0 график горизонтален.