15. Прямая пропорциональность и её график

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — функция, заданная формулой y = kx, где k — ненулевое число. Функция показывает, какое значение y соответствует каждому выбранному значению x. Такая формула описывает зависимость, в которой изменение x во столько же раз меняет y.

Число k в формуле y = kx называется коэффициентом прямой пропорциональности. Оно показывает, какое значение получает y при x = 1, а также задаёт наклон прямой и направление изменения функции. Зная k, можно быстро вычислять значения функции и предсказывать, как будет выглядеть её график.

График прямой пропорциональности — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству y = kx. Каждая такая точка имеет вид (x; kx), поэтому её можно проверить подстановкой координат в формулу. График помогает наглядно увидеть зависимость между x и y.

Как это устроено

Чтобы найти значение функции для заданного x, подставляют это число в формулу y = kx и выполняют умножение. Например, если y = 3x и x = 2, то y = 6. Если x увеличить в несколько раз, произведение kx изменится во столько же раз, потому что множитель k остаётся постоянным.

Для построения графика сначала выбирают несколько значений x, а затем вычисляют соответствующие y. Полученные пары записывают как координаты точек и отмечают на координатной плоскости. Например, для y = 2x при x = 0 получается y = 0, а при x = 1 — y = 2; значит, график проходит через точки (0; 0) и (1; 2).

Все найденные точки лежат на одной прямой, потому что отношение y/x для любого x, отличного от нуля, постоянно и равно k. Иными словами, при переходе от одной точки к другой координаты связаны одним и тем же правилом y = kx. Поэтому здесь не получается изогнутая линия: точки выстраиваются вдоль прямой.

Начало координат принадлежит графику, поскольку при x = 0 формула даёт y = k · 0 = 0. Следовательно, координаты (0; 0) удовлетворяют равенству y = kx при любом k. Вместе с этой точкой достаточно найти ещё одну точку с другим x: через две различные точки проводится единственная прямая.

Знак k определяет, как меняется функция при движении слева направо. Если k > 0, увеличение x приводит к увеличению y, поэтому прямая возрастает; если k < 0, y уменьшается, и прямая убывает. Модуль коэффициента показывает крутизну: при большем |k| изменение y на один и тот же шаг по x сильнее, значит, наклон прямой круче.

Свойства прямой пропорциональности y = kx

Сначала найдите в таблице знак коэффициента, затем прочитайте соответствующее значение в нужной строке. Например, по знаку k можно определить направление изменения функции и четверти, в которых расположена прямая. Область определения и множество значений одинаковы для обоих случаев.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график функции y = 2x, составив таблицу значений для x = 0 и x = 1. Сначала нужно найти координаты точек, а затем использовать то, что график прямой пропорциональности является прямой. Проверим также, что одна из точек — начало координат.

1. Подставим x = 0: y = 2 · 0 = 0. Получаем точку (0; 0), которая должна лежать на графике.
2. Подставим x = 1: y = 2 · 1 = 2. Вторая точка имеет координаты (1; 2) и отличается от первой.
3. Отметим обе точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Две точки задают её однозначно.

Ответ: график — прямая через точки (0; 0) и (1; 2). Подстановка x = 0 показывает, что начало координат действительно принадлежит графику. Так как k = 2 положительно, прямая возрастает слева направо.

Задача 2. График прямой пропорциональности проходит через точку (3; −6). Нужно определить коэффициент и записать формулу функции. Поскольку координаты точки удовлетворяют равенству y = kx, их можно подставить в это равенство.

1. Запишем координаты: x = 3, y = −6. Подставим их в формулу: −6 = k · 3.
2. Разделим обе части равенства на 3, чтобы оставить k: k = −6/3 = −2. Деление допустимо, потому что x = 3 не равен нулю.
3. Подставим найденный коэффициент в общую формулу y = kx. Получится y = −2x.

Ответ: k = −2, формула функции — y = −2x. Коэффициент отрицательный, поэтому функция убывает. Проверка: при x = 3 формула даёт y = −6, как и указано в условии.

Задача 3. На графике прямой пропорциональности отмечена точка (−4; 10). Найдите значение функции при x = 6 и укажите, возрастает она или убывает. Сначала найдём коэффициент по отмеченной точке, а затем воспользуемся формулой функции.

1. Подставим координаты точки: 10 = k · (−4). Разделим на −4 и получим k = 10/(−4) = −2,5.
2. Запишем функцию y = −2,5x и подставим x = 6. Тогда y = −2,5 · 6 = −15.
3. Коэффициент k отрицательный. Значит, при увеличении x значение функции уменьшается, и функция убывает.

Ответ: при x = 6 значение функции равно −15; функция убывает. Проверить коэффициент можно подстановкой исходной точки: −2,5 · (−4) = 10. Полученное значение совпадает с её второй координатой.

Типичные ошибки

Иногда считают, что начало координат нужно включать в график только потому, что так принято при построении. На самом деле принадлежность точки (0; 0) следует прямо из формулы: при x = 0 получается y = 0. Проверяйте точку подстановкой, а не внешним видом рисунка.

Коэффициент k могут принять за одну из координат отмеченной точки. Но координаты x и y — это значения для конкретной точки, а k задаёт правило для всего графика; при x ≠ 0 его находят по формуле k = y/x. Для проверки подставьте найденное k в y = kx и убедитесь, что равенство верно для координат точки.

Ещё одна ошибка — перепутать направление графика и знак k. При положительном коэффициенте функция возрастает, а при отрицательном убывает; это можно проверить, сравнив значения y для двух возрастающих значений x. Если кривая на рисунке построена неверно, проверьте вычисление хотя бы для нескольких точек.

Проводить прямую по одной точке нельзя, если эта точка не задаёт её направление. Начало координат известно заранее, но нужна ещё одна точка, отличная от неё. Перед черчением убедитесь, что у вас есть две различные точки, и проверьте, что обе удовлетворяют формуле.

Связь с другими темами

Чтобы вычислять значения прямой пропорциональности, нужно уметь подставлять числа вместо букв в выражение и выполнять действия с числами. Эти навыки помогают не только получать отдельные значения функции, но и заполнять таблицу для построения графика. Ошибка в подстановке изменит координаты точки.

Для построения понадобится умение отмечать точки по координатам и проводить прямую на координатной плоскости. Позже эта тема поможет изучать линейную функцию и графики уравнений, а также решать задачи о зависимости величин. В таких задачах формула показывает, как изменение одной величины связано с другой.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx, где k ≠ 0.
• Коэффициент k — постоянное отношение y/x при x ≠ 0.
• График прямой пропорциональности — прямая.
• График всегда проходит через начало координат.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• Для построения графика достаточно двух точек.