15. Прямая пропорциональность и её график

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — зависимость вида y = kx, где k — постоянное ненулевое число. Это значит, что y получается умножением x на одно и то же число. Такая запись позволяет описывать связь величин, которая не меняется при переходе от одного значения x к другому.

Коэффициент пропорциональности — число k в формуле y = kx, показывающее, во сколько раз изменяется y при изменении x. Например, если k = 3, то каждому значению x соответствует y, в три раза большее. Коэффициент нужен, чтобы находить значения функции и понимать, как расположится её график.

График прямой пропорциональности — множество точек координатной плоскости, задаваемых формулой y = kx. Координаты каждой такой точки подходят к равенству: первая координата обозначена x, а вторая равна kx. График помогает увидеть зависимость целиком и сравнить значения величин без повторного вычисления для каждого x.

Как это устроено

При прямой пропорциональности отношение y/x остаётся одним и тем же числом k для всех значений x, кроме нуля. Умножим обе части равенства y/x = k на x: получим y = kx. Поэтому постоянное отношение величин можно записать формулой, по которой легко вычислять одну величину через другую.

Коэффициент k задаёт наклон прямой, потому что показывает, на сколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Например, при k = 2 значение y увеличивается на 2, когда x увеличивается на 1; при k = ½ оно увеличивается на ½. Чем больше абсолютное значение k, тем сильнее меняется y и тем круче прямая относительно оси x.

График y = kx является прямой, поскольку при изменении x на одинаковую величину y каждый раз изменяется на одинаковую величину k, умноженную на этот шаг. Кроме того, при x = 0 получаем y = 0, поэтому график проходит через начало координат. Две точки однозначно задают прямую, а одна из нужных точек уже известна — (0; 0).

Знак коэффициента определяет четверти, через которые проходит график. Если k > 0, то при положительном x значение y тоже положительно, а при отрицательном x оно отрицательно: прямая проходит через I и III четверти. Если k < 0, знаки x и y противоположны, поэтому график проходит через II и IV четверти.

Для построения выбери значение x, подставь его в формулу и найди y. Отметь полученную точку и начало координат, а затем проведи через них прямую; удобно проверить расчёт ещё по одному значению. Чтобы проверить принадлежность точки, подставь её координаты в формулу: если равенство выполняется, точка лежит на графике.

Свойства прямой пропорциональности y = kx

Сначала определи знак k: он подскажет четверти и направление изменения функции. Затем используй формулу, чтобы найти координаты точек и проверить их. Если коэффициенты различаются, графики имеют общий центр — начало координат, но разный наклон.

Разбор задач

Задача 1

При x = 4 значение y равно 10. Нужно определить коэффициент пропорциональности и записать формулу зависимости. Поскольку известны обе координаты одной точки, можно найти постоянное отношение y к x.

1. В прямой пропорциональности k = y/x, поэтому подставляем данные: k = 10/4 = 2,5. Коэффициент положителен, так как оба значения положительны.
2. Подставляем найденное число в общую формулу: y = kx. Получаем y = 2,5x; проверка при x = 4 даёт y = 2,5 · 4 = 10.

Ответ: k = 2,5, формула зависимости — y = 2,5x. Проверка показывает, что формула подходит к условию. По ней можно найти y для любого значения x.

Задача 2

Нужно построить график функции y = −2x и проверить, принадлежит ли ему точка A(3; −6). Для прямой хватит начала координат и ещё одной найденной точки. При проверке важно подставить именно координаты A в исходную формулу.

1. Составим таблицу значений: при x = 0 получаем y = 0, а при x = 1 получаем y = −2. Значит, график проходит через точки (0; 0) и (1; −2).
2. Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую. Отрицательный коэффициент подсказывает, что она проходит через II и IV четверти.
3. Проверяем точку A: при x = 3 формула даёт y = −2 · 3 = −6. Полученное значение совпадает с второй координатой точки.

Ответ: график строится через (0; 0) и (1; −2), точка A(3; −6) ему принадлежит. Подстановка подтверждает принадлежность без необходимости точно измерять расстояние на рисунке. Это надёжнее, чем оценивать положение точки на глаз.

Задача 3

График прямой пропорциональности проходит через точку B(−6; 4). Требуется найти формулу функции и значение y при x = 15. Так как точка лежит на графике, её координаты должны удовлетворять равенству y = kx.

1. Находим коэффициент по координатам точки: k = y/x = 4/(−6) = −2/3. Отрицательный результат согласуется с тем, что у точки x отрицателен, а y положителен.
2. Записываем формулу с найденным коэффициентом: y = −⅔x. Подстановка координат B даёт −⅔ · (−6) = 4, значит, формула подходит.
3. Чтобы найти значение при x = 15, подставляем его: y = −⅔ · 15 = −10. Отрицательный результат ожидаем, поскольку при положительном x и отрицательном k значение y отрицательно.

Ответ: y = −⅔x; при x = 15 значение y = −10. Сначала мы определили коэффициент по известной точке, затем использовали одну формулу для нового значения аргумента. Проверка знака помогает заметить возможную ошибку в вычислениях.

Типичные ошибки

Иногда записывают y = x/k вместо y = kx. Это происходит, когда отношение y/x = k ошибочно воспринимают как деление x на k; чтобы проверить себя, перемножь обе части отношения на x и получишь y = kx. Подстановка исходной точки также сразу покажет, верна ли запись.

Ещё одна ошибка — строить график только по одной точке. Одной точки недостаточно, чтобы однозначно провести прямую: через неё может проходить множество прямых; для прямой пропорциональности возьми начало координат и ещё одну точку. Перед построением проверь, что обе точки рассчитаны по формуле.

Если не учитывать знак коэффициента, график с отрицательным k могут ошибочно поместить в I и III четверти. Причина обычно в том, что ученик смотрит только на числовой коэффициент, но забывает умножение на x разного знака. Для проверки выбери положительное x: при k < 0 значение y обязано быть отрицательным.

Не всякая прямая является графиком прямой пропорциональности. Ученик может решить, что достаточно прямой формы графика, хотя прямая пропорциональность требует прохождения через (0; 0); проверь, удовлетворяет ли точка (0; 0) уравнению. Например, график y = 2x + 1 не проходит через начало координат.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координатная плоскость и умение отмечать точку по её координатам. Также пригодятся пропорции: из постоянного отношения y/x = k выводится формула зависимости. Работа с линейными уравнениями помогает уверенно подставлять значения и проверять равенства.

Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции. Позже её график будет удобно сравнивать с графиком y = kx + b: свободное слагаемое b сдвигает прямую, если оно не равно нулю. У прямой пропорциональности такого сдвига нет.

Эта зависимость встречается, когда две величины меняются в постоянное число раз. Например, при неизменной цене общая стоимость покупки пропорциональна количеству товара. Формула и график позволяют находить неизвестные значения и видеть, как изменение одной величины влияет на другую.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx.
• Коэффициент k — постоянное отношение y к x.
• График y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• Для построения графика достаточно найти две точки, включая начало координат.
• При k > 0 функция возрастает и её график расположен в I и III четвертях.
• При k < 0 функция убывает и её график расположен во II и IV четвертях.
• Чем больше |k|, тем круче наклон графика к оси x.